문제
조건에 맞는 분수
분자와 분모의 합이 10보다 작고 값이 1/2보다 작은 분수를 셉니다. 값이 같아도 쓴 수가 다르면 다른 분수로 봅니다. 1/2보다 작다는 것은 분모가 분자의 2배보다 크다는 뜻입니다. 그런 분수가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 분수의 활용
내 답
조심 2/4처럼 분모가 분자의 2배인 것을 넣기 쉽지만, 그것은 1/2과 같아서 조건에 맞지 않습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 분자가 될 수 있는 수는 몇 개 안 되고, 분자마다 분모가 두 한계 사이로 좁혀집니다. 그래서 분자 하나씩 순서대로 꼼꼼히 나열하면 빠뜨리거나 겹치지 않고 모두 찾을 수 있습니다. 각 후보가 '1/2보다 작은지'는 빠르게 추측하고 확인하면 됩니다.
1STEP 1
'1/2보다 작다'를 분모 규칙으로 바꾸기
1/2보다 작으려면 분모가 분자의 2배보다 커야 합니다.
a/b ＜ 1/2 ⇔ b ＞ 2a
전체를 b조각으로 나눠 a조각을 가질 때, 가진 조각보다 두 배 넘게 조각이 있어야 절반보다 적습니다.
3.NF.A.3Guess And Check분수가 2분의 1보다 작다는 것은 전체를 자른 조각 수가 가져간 조각 수의 두 배보다 많다는 것과 정확히 같다.
왜?
가진 조각을 두 배 하면 그 나눔에서 절반이 무엇인지 알 수 있으므로, 그 두 배를 분모와 견주면 결판난다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
분자와 분모를 함께 두 배 해도 분수는 그대로이므로, 분자의 두 배와 분모를 견주는 것이 올바른 검사가 된다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
2STEP 2
분자가 1인 분수 나열하기
분자가 1이면 분모는 3부터 8까지라 6개입니다.
1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8 → 6
분자를 고정하고 분모를 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 훑으면 그 안의 분수를 순서대로 빠짐없이 잡습니다.
3.NF.A.3Make A Systematic List3STEP 3
분자가 2인 분수 나열하기
분자가 2이면 분모는 5부터 7까지라 3개입니다.
2/5,2/6,2/7 → 3
분자가 더 커진 채로 같은 방식으로 훑습니다. 합의 한계가 더 빨리 걸려 허용되는 분모의 범위가 더 좁아집니다.
3.NF.A.3Make A Systematic List4STEP 4
분자가 3 이상인 경우 확인하기
분자가 3이면 두 조건이 부딪혀 하나도 없습니다.
b ＞ 6 이면서 b ≤ 6 → 없음
'2배 초과' 범위가 합의 한계를 넘어서면 들어맞는 분모가 없으므로 안심하고 멈출 수 있습니다.
3.NF.A.3Guess And Check5STEP 5
개수 모두 더하기
모으면 6 + 3 = 9개입니다.
6 + 3 = 9
두 목록이 겹치지 않으므로 분자별 개수를 더하면 전체 개수가 됩니다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List정답
9 개
6 + 3 = 9
나열한 분수들(1/3부터 1/8, 그리고 2/5, 2/6, 2/7)은 모두 분명히 1/2보다 작고, 분자와 분모의 합이 모두 10보다 작으므로 9개 다 조건에 맞습니다. 2/4나 3/6처럼 1/2과 정확히 같은 분수는 세지 않았는데 이는 '1/2보다 작다'와 일치합니다. 한계가 좁으니 9개라는 작은 답이 자연스럽습니다.
핵심 정리
분수가 1/2보다 작으려면 분모가 분자의 2배보다 커야 해요 - 분자 하나씩 나열하면 딱 9개, 3학년 분수 비교면 충분해요!
- '1/2보다 작다'를 분모 규칙으로 바꾸기
- 분자가 1인 분수 나열하기
- 분자가 2인 분수 나열하기
- 분자가 3 이상인 경우 확인하기
- 개수 모두 더하기
이어서 풀어볼까요