문제
곱셈구구표에 나오는 수의 개수
곱하는 두 수가 각각 1부터 9까지인 곱셈구구표에서 어떤 수가 몇 번 나오는지 셉니다. 순서가 다르면 다른 칸이라 두 수가 같지 않으면 따로 셉니다. 보기로 4는 1×4, 2×2, 4×1로 3번입니다. 6, 15, 24, 49가 각각 몇 번 나오는지 구합니다.
사고력 · 초2-2 곱셈구구표
내 답
조심 1 × 15나 1 × 49도 세고 싶지만 두 수가 모두 9 이하여야 하고, 7 × 7처럼 같은 수는 순서가 하나뿐입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 각 수에 대해 두 수가 모두 1부터 9까지인 (앞의 수) x (뒤의 수) 곱셈식을 모두 나열한다. 작은 수(1, 2, 3, ...)부터 차례로 살피면 빠뜨리거나 중복해서 세는 일이 없다.
1STEP 1
6이 되는 곱셈식 세기
6은 1×6, 2×3과 그 반대까지 4번 나옵니다.
1{×}6, 2{×}3, 3{×}2, 6{×}1 → 4
곱이 6인 두 수의 짝 1과 6, 2와 3을 찾아 각 순서를 세면 6이 들어 있는 모든 칸이 나온다.
3.OA.C.7Make A Systematic List2STEP 2
15가 되는 곱셈식 세기
15는 3×5와 5×3뿐이라 2번입니다.
3{×}5, 5{×}3 → 2
1부터 9까지에 모두 들어가는 짝은 3과 5뿐이고 각 순서가 한 칸씩이므로 15는 두 번 나온다.
3.OA.C.7Make A Systematic List3STEP 3
24가 되는 곱셈식 세기
24는 3×8, 4×6과 그 반대로 4번이고 2×12는 표 밖입니다.
3{×}8, 8{×}3, 4{×}6, 6{×}4 → 4
두 짝(3과 8, 4와 6)이 각각 두 순서로 나타나므로 24는 네 칸을 채운다.
3.OA.C.7Make A Systematic List4STEP 4
49가 되는 곱셈식 세기
49는 7×7뿐이고 같은 수라 1번입니다.
7{×}7 → 1
49 = 7x7처럼 같은 수의 곱(정사각수)은 표의 대각선 위에 한 번만 놓인다.
3.OA.D.9Look For A Pattern49는 한 칸만 채우는데, 두 인수가 같은 수여서 두 가지 순서가 하나로 겹치기 때문이다.
왜?
인수는 보통 서로 다른 두 짝으로 나오고 각 짝은 두 칸을 만들지만, 어떤 수가 자기 자신의 짝일 때는 그렇지 않다.
🧱약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
왜?
7줄의 7과 7열의 7은 표에서 같은 칸이므로, 여기서는 순서를 바꾸어도 달라지는 것이 없다.
🧱곱셈의 교환법칙a줄 b개와 b줄 a개는 같은 점 배열을 센다 — 가로세로만 바뀐다.
정답
6은 4번, 15는 2번, 24는 4번, 49는 1번
각 횟수는 1부터 9까지의 순서 있는 곱셈식의 개수와 일치한다. 서로 다른 두 수의 짝이 둘이면 4번, 서로 다른 두 수의 짝이 하나면 2번, 같은 수의 곱(정사각수)뿐이면 1번이다. 나열한 어떤 식도 9보다 큰 수를 쓰지 않았으므로 어느 횟수도 부풀려지지 않았다.
핵심 정리
어떤 수가 몇 번 나오는지는 1부터 9까지에 들어가는 곱셈식의 짝을 모두 찾고, 두 순서를 따로 센다는 것만 기억하면 돼요!
- 6이 되는 곱셈식 세기
- 15가 되는 곱셈식 세기
- 24가 되는 곱셈식 세기
- 49가 되는 곱셈식 세기
이어서 풀어볼까요