문제
수와 숫자의 개수
사물함 40개가 모두 닫혀 있습니다. 정우가 홀수 번호를 모두 열고, 이어서 민경이가 번호에 3이 들어간 사물함을 모두 뒤집습니다. 뒤집기는 열린 것은 닫고 닫힌 것은 엽니다. 마지막에 열려 있는 사물함이 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초2-2 조건과 수
내 답
조심 민경이가 13개를 '연다'고 세기 쉽지만 뒤집는 것이라, 이미 열려 있던 홀수 8개는 오히려 닫힙니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 어떤 사물함이 열리고 어떤 사물함이 뒤집히는지 빠짐없이 나열하며 상태를 따라갑니다. 작은 문제로 쪼개어, 먼저 정우 다음 열린 개수를 세고, 그다음 민경이의 뒤집기를 반영합니다. 핵심은 민경이가 건드리는 사물함을 이미 열린(홀수) 것과 닫힌(짝수) 것으로 나누는 것입니다 — 뒤집기는 둘에게 반대로 작용하기 때문입니다.
1STEP 1
정우 다음: 열린 사물함 세기
1부터 39까지 홀수가 20개라 먼저 20개가 열립니다.
1, 3, 5, …, 39 → 20 개 열림
40까지의 홀수를 세는 것은 1부터 2씩 뛰어 세는 것과 같아서, 40의 절반인 20개입니다.
2.NBT.A.2Identify Subproblems2STEP 2
민경이가 건드리는 사물함(숫자 3) 나열하기
3이 들어간 번호는 3, 13, 23과 30번대라 13개입니다.
{3, 13, 23} ∪ {30, 31, …, 39} → 3 + 10 = 13 개
숫자 3은 일의 자리에 오거나(3, 13, 23, 33) 십의 자리에 오므로(30~39 전부), 두 묶음을 나열하면 빠짐없이 찾습니다.
2.NBT.A.1Make A Systematic List3STEP 3
민경이의 13개를 홀수(열림)·짝수(닫힘)로 나누기
그중 홀수 8개는 닫히고 짝수 5개는 열립니다.
홀수이면서 3 포함: 8, 짝수이면서 3 포함: 5, 8 + 5 = 13
뒤집기는 닫힌(짝수) 사물함에만 이득이 되고 열린(홀수) 사물함에는 손해이므로, 민경이의 목록을 홀짝으로 나누면 전부 설명됩니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List미아가 건드린 사물함을 홀수와 짝수로 나누면 모든 것이 정해지는데, 한 번 바꾸는 일이 닫힌 짝수 사물함은 열고 열린 홀수 사물함은 닫기 때문이다.
왜?
사물함은 홀수이거나 짝수일 뿐 둘 다일 수는 없으므로, 미아의 목록은 효과를 따로 셀 수 있는 두 무리로 깔끔히 갈린다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
한 번 바꾸면 사물함의 상태가 반대로 되므로, 마지막에 열려 있는지는 몇 번 건드려졌는지에만 달려 있다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
4STEP 4
열린 개수 조정하기
그래서 마지막에 20 − 8 + 5 = 17개가 열려 있습니다.
20 - 8 + 5 = 17
사물함 40개를 다시 그리는 대신 변화만 기록합니다 — 닫힌 것은 빼고, 열린 것은 더합니다.
2.OA.A.1Change Focus Count The Complement정답
17 개
20 − 8 + 5 = 17
열린 사물함을 직접 나열해 확인합니다. 3이 들어 있지 않은 홀수는 계속 열려 있고(1, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 29 = 12개), 여기에 민경이가 연 짝수(30, 32, 34, 36, 38 = 5개)를 더하면 12 + 5 = 17로 일치합니다. 답이 0과 40 사이이고 20에 가까운데, 민경이가 13개만 바꿨으니 타당합니다.
핵심 정리
문 40개를 다시 그리지 말고, 민경이가 3이 든 열린 8개는 닫고 3이 든 닫힌 5개는 연다는 것만 보면 20 − 8 + 5 = 17이에요!
- 정우 다음: 열린 사물함 세기
- 민경이가 건드리는 사물함(숫자 3) 나열하기
- 민경이의 13개를 홀수(열림)·짝수(닫힘)로 나누기
- 열린 개수 조정하기
이어서 풀어볼까요