문제
수 배열의 규칙
점점 커지는 삼각형 선을 따라 1, 2, 3, …을 빈틈없이 차례로 씁니다. 각 선의 첫째 수는 바로 앞 선의 마지막 수이고, 새 선마다 수가 하나씩 더 많아집니다. 9번째 선의 넷째 수와, 72가 몇 번째 선의 몇째 수인지 구합니다.
사고력 · 초2-2 여러 가지 규칙
내 답
조심 선마다 수를 따로 세다 보면 첫째 수를 잘못 잡습니다. 모퉁이 수는 두 선이 함께 씁니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 각 선의 첫째 수(또는 마지막 수)를 나열하며 패턴을 찾는다. n번째 선이 새 수를 n개 더하므로 n번째 선의 마지막 수는 1에 삼각수 n(n+1)/2를 더한 값이 된다 — 작은 경우에서 규칙을 읽어 바로 쓸 수 있다.
1STEP 1
각 선이 새로 더하는 수의 개수 찾기
n번째 선은 새 수를 n개 더하고 첫째 수는 앞 선의 마지막 수입니다.
n번째 선의 새 수 = n
처음 몇 선을 나열하면 늘어나는 규칙이 바로 보이고, 이것이 4학년 규칙 문제의 핵심이다.
4.OA.C.5Make A Systematic List2STEP 2
n번째 선의 마지막 수 구하기
그래서 n번째 선의 마지막 수는 1 + n(n+1) ÷ 2입니다.
L(n) = 1 + (n(n+1))/2
1+2+...+n은 삼각수이고, 11·16·22를 그림과 맞춰 보면 규칙이 확인된다.
3.OA.D.9Look For A Patternn번째 삼각형의 마지막 수는 1 더하기 2 더하기 하여 n까지인데, 삼각형마다 앞 것보다 수를 하나씩 더 붙이기 때문이다.
왜?
삼각형들은 세는 수를 건너뛰거나 되풀이하지 않고 차례로 쓰므로, n번째 삼각형의 마지막 수는 그때까지 쓴 수의 개수일 뿐이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그 누적 합은 처음과 끝, 둘째와 끝에서 둘째를 짝지으면 빨리 구해지는데, 모든 짝이 같은 합을 이루기 때문이다.
🧱양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
3STEP 3
(1): 9번째 선의 넷째 수
8번째가 37에서 끝나니 9번째 선의 넷째 수는 40입니다.
L(8)=1+(8 × 9)/2=37; 37+3=40
첫째 수 37을 알면 3만큼 이어 세는 간단한 2학년 덧셈이다.
2.NBT.B.7Look For A Pattern4STEP 4
(2): 72의 위치 찾기 — 몇 번째 선
67에서 79까지가 12번째 선이라 72는 12번째 선에 있습니다.
L(11)=67, L(12)=79; 67 ≤ 72 ≤ 79
선의 끝 수 몇 개를 간단히 더해 구하면 72가 어느 선에 있는지 알 수 있다.
2.NBT.B.7Solve An Easier Related Problem5STEP 5
(2): 72의 위치 찾기 — 몇째 수
67을 첫째로 세면 72는 여섯째 수입니다.
72 - 67 + 1 = 6
위치는 72가 시작에서 얼마나 떨어졌는지로, 100 이내의 빼고 1 더하기 셈이다.
2.NBT.B.5Look For A Pattern정답
(1) 40, (2) 12번째 선의 여섯째 수
규칙 L(n)=1+n(n+1)/2는 그림의 대표 수(네 번째 선 꼭대기 11, 다섯 번째 선 16, 여섯 번째 선 22)를 그대로 만들어 내므로 믿을 수 있다. 9번째 선은 37에서 시작하고 넷째 수 40은 범위 안에 있다. 12번째 선은 67~79이고 72는 그중 여섯째이므로 두 답 모두 선 안에 있다.
핵심 정리
각 삼각형은 앞보다 수를 하나만 더 더하니, 삼각수 규칙이 어떤 수가 어디에 놓이는지 정확히 알려 줘요 — 4학년 규칙 사고예요!
- 각 선이 새로 더하는 수의 개수 찾기
- n번째 선의 마지막 수 구하기
- (1): 9번째 선의 넷째 수
- (2): 72의 위치 찾기 — 몇 번째 선
- (2): 72의 위치 찾기 — 몇째 수
이어서 풀어볼까요