문제
바둑돌의 규칙
바둑돌을 점점 커지는 규칙으로 한 줄로 놓습니다. 돌을 하나 놓을 때마다 개수를 살펴, 흰 돌이 검은 돌보다 처음으로 정확히 10개 많아지는 순간을 찾습니다. (1)과 (2)에서 그때 검은 돌이 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초2-2 여러 가지 규칙
내 답
조심 차이는 흰 돌 묶음에서 커졌다가 검은 돌 묶음에서 다시 줄어듭니다. 그래서 차이가 가장 커지는 순간만 살피면 됩니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 처음 몇 묶음을 빠짐없이 나열하며 검은돌과 흰돌의 누적 개수를 적고, 흰돌-검은돌 차이가 어떻게 커지는지 패턴을 찾는다. 작은 경우부터 더 쉽게 풀어 보면, 묶음이 끝날 때마다 생기는 차이의 최댓값을 바로 읽어 낼 수 있다.
1STEP 1
(1): 흰돌 묶음이 끝날 때마다 세기
(1)에서 k번째까지 놓으면 검은 돌 k개에 흰 돌은 1+2+…+k개입니다.
흰돌 = 1+2+…+k = (k(k+1))/2, 검은돌 = k
흰돌을 묶음 단위로 차례로 더해 세는 것은 2학년이 직접 나열할 수 있는 셈이다.
2.NBT.A.2Make A Systematic List2STEP 2
(1): 차이의 규칙 찾기
차이는 흰 돌 묶음이 막 끝날 때 가장 큽니다.
(k(k+1))/2 - k = (k(k-1))/2; (k(k-1))/2=10 → k=5
차이 0,1,3,6,10을 나열하면 규칙이 분명히 보이고, 10은 5번째 검은돌에서 처음 나타난다.
3.OA.D.9Look For A Pattern검은 돌과 흰 돌의 차는 0, 1, 3, 6, 10으로 매번 하나씩 더 커지므로, 차가 10이 되는 것은 다섯 번째 검은 돌에서 처음 나타난다.
왜?
새 흰 돌 무리는 앞 무리보다 하나씩 길어지므로, 차가 자라나는 양도 매번 정확히 하나씩 커진다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
왜?
어느 시점의 차는 그때까지의 자람을 모두 더한 것이므로, 차의 목록은 자람을 하나씩 더해 가며 만들어진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
(1): 10이 더 일찍 나오지 않음을 확인
그 값이 처음 10이 되는 곳을 찾으면 (1)의 검은 돌은 5개입니다.
검은돌=5, 흰돌=15, 15-5=10
바둑돌을 하나씩 짚으며 작은 단계를 확인하면 차이가 처음 10이 되는 순간을 놓치지 않는다.
2.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
(2): 흰돌 묶음이 끝날 때마다 세기
(2)에서는 m번째 흰 돌 묶음 뒤 차이가 바로 m입니다.
흰돌=m², 검은돌=m²-m
홀수 묶음 크기를 더하면 제곱수가 되고 짝수 묶음 크기를 더하면 1+2+...+(m-1)의 두 배이니, 모두 나열하며 더하는 셈이다.
2.NBT.B.6Make A Systematic List5STEP 5
(2): 차이의 규칙 찾기
그래서 m = 10일 때 처음으로 차이가 10이 됩니다.
m²-(m²-m)=m; m=10
최댓값이 1,2,3,…이므로 차이 10은 정확히 10번째 흰돌 묶음에서 생긴다.
3.OA.D.9Look For A Pattern6STEP 6
(2): 검은 바둑돌 개수 세기
그때 검은 돌은 2+4+…+18 = 90개입니다.
검은돌=m²-m=10²-10=90
2부터 18까지 더하는 것은 100 이내의 묶어 더하기로 2학년 셈이다.
2.NBT.B.6Make A Systematic List정답
(1) 5개, (2) 90개 검은 바둑돌
(1)에서 검은돌 5개일 때 흰돌은 15개이고 15 - 5 = 10이며, 그 전에는 차이가 10에 이른 적이 없다. (2)에서 검은돌 묶음 9개(검은돌 90개)와 흰돌 묶음 10개(흰돌 100개)일 때 100 - 90 = 10이고, 앞선 최댓값은 1부터 9뿐이다. 따라서 두 답 모두 차이가 처음 10이 되는 순간이 맞다.
핵심 정리
묶음 몇 개만 나열해 흰돌-검은돌을 살피면, 최댓값의 규칙이 차이가 처음 10이 되는 순간을 알려 줘요 — 2~3학년 세기와 더하기면 충분해요!
- (1): 흰돌 묶음이 끝날 때마다 세기
- (1): 차이의 규칙 찾기
- (1): 10이 더 일찍 나오지 않음을 확인
- (2): 흰돌 묶음이 끝날 때마다 세기
- (2): 차이의 규칙 찾기
- (2): 검은 바둑돌 개수 세기
이어서 풀어볼까요