문제
닫힌 선 위의 점을 이어서 도형 만들기
원의 둘레를 따라 점 6개가 고르게 놓여 있습니다. 두 점을 골라 곧은 선으로 잇고, ㄱ-ㄴ과 ㄴ-ㄱ은 같은 선입니다. 그을 수 있는 서로 다른 선이 모두 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초2-1 점을 이어 도형 만들기
내 답
조심 점마다 다섯 개씩이니 30이라고 답하기 쉽습니다. 선 하나를 양쪽 끝에서 두 번 세었으므로 2로 나눕니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 점 6개에 번호를 붙이고 두 점의 짝을 겹치지 않게 차례로 나열하면 빠뜨리거나 두 번 세는 일이 없습니다. 그림은 선을 눈으로 확인하게 해 주고, 한 점이 다른 5개 점과 이어진다는 패턴으로 합계를 점검합니다.
1STEP 1
점에 번호 붙이기
점에 1부터 6까지 번호를 붙이고 작은 번호에서 큰 번호로만 잇습니다.
곧은 선은 두 끝점을 이은 것뿐이므로, 끝점에 이름을 붙이면 그은 선을 하나하나 따라갈 수 있습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
각 점에서 나오는 선을 차례로 나열하기
그러면 점마다 5, 4, 3, 2, 1개씩 새 선이 나옵니다.
5 + 4 + 3 + 2 + 1
번호가 커지는 쪽으로만 짝을 지으면 겹치는 짝(1-2와 2-1은 같은 선)이 저절로 빠져서 빠짐없이, 겹침없이 나열됩니다.
2.OA.B.2Make A Systematic List3STEP 3
나열한 것을 모두 더하기
더하면 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15개입니다.
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
선마다 딱 한 번씩만 나열했으므로 묶음의 개수를 더하면 정확한 전체 개수가 됩니다.
2.OA.B.2Make A Systematic List4STEP 4
수 세기 패턴으로 점검하기
6 × 5 = 30을 2로 나눠도 15로 같습니다.
(6 × 5)/2 = 30/2 = 15
양쪽 끝에서 세면 선이 두 번씩 세어지므로, 반으로 나누면 중복이 사라져 15가 다시 확인됩니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern모든 점에서 차례로 선을 세면 각 선분이 두 번씩 세어지므로, 그 합을 반으로 나누면 15가 확인된다.
왜?
선분에는 끝점이 둘 있고 그 각각에서 한 번씩 세어지므로, 모든 점을 훑으면 정확히 두 배가 나온다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
각 선분은 끝점 한 쌍으로 이름 붙고 각 쌍은 선분 하나를 가리키므로, 선분을 세는 것은 쌍을 세는 것이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
정답
15 개
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
두 가지 방법(5+4+3+2+1 나열과 6x5 후 반으로 나누기)이 모두 15로 같고, 점 6개 사이의 선으로 15개는 너무 적지도 너무 많지도 않은 알맞은 개수입니다.
핵심 정리
짝을 번호 순서대로(5개, 그다음 4개, 3개...) 나열하면 같은 선을 두 번 세지 않아요. 그게 전부예요!
- 점에 번호 붙이기
- 각 점에서 나오는 선을 차례로 나열하기
- 나열한 것을 모두 더하기
- 수 세기 패턴으로 점검하기