문제
위, 앞, 옆에서 본 모양과 쌓기나무 개수
쌓기나무로 만든 입체 여섯 개에 번호가 붙어 있습니다. 보기 상자에 평면도형 세 개가 그려져 있습니다. 어느 것이 어느 방향에서 본 모양인지는 알려 주지 않습니다. 세 그림에 모두 맞는 입체를 고릅니다.
사고력 · 초6-2 쌓기나무의 개수와 가짓수
내 답
조심 그림을 차례대로 위·앞·옆으로 읽고 싶지만 순서가 정해져 있지 않습니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 비스듬히 그린 입체 여섯 개와 평면도형 세 개를 눈대중으로 견주다 보면 반드시 틀립니다. 그래서 첫 수는 여섯 입체를 셈으로 비교할 수 있는 꼴로 다시 적는 것입니다. 자리마다 쌓기나무가 몇 개인지 적은 작은 쌓기표를 만드는 것이지요. 입체가 쌓기표가 되고 나면 어느 방향에서 본 모양이든 그 표 위에서 한 줄짜리 계산이 되고, 여섯이라는 딱 떨어진 후보 집합을 방향 하나씩 짚어 가며 지워 나갈 수 있습니다. 세 그림 중 어느 것이 위에서 본 모양일 수밖에 없는지를 먼저 밝히는 것이 지우기를 싸게 만드는 열쇠입니다. 그 한 번으로 여섯 중 셋이 정리되기 때문입니다.
1STEP 1
그림마다 쌓기표로 바꾸어 적기
그림마다 쌓기표로 바꾸어 적습니다.
2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 = 12
한 자리에 쌓기나무가 몇 개 쌓였는지는 손가락으로 짚어 가며 셀 수 있습니다. 자리마다 그렇게 세어 두면, 머릿속으로 상상해야 했던 그림이 눈으로 확인할 수 있는 수로 바뀝니다.
5.MD.C.4Organize Information In More Ways2STEP 2
오른쪽 도형만이 위에서 본 모양일 수 있다
위에서 본 모양이 될 수 있는 것은 하나뿐입니다.
어느 그림이 위에서 본 것이고 어느 그림이 옆에서 본 것인지 가리는 일은 어린아이도 하는 위·앞·옆 감각으로 충분합니다. 여기서 결정적인 단서는 쌓기나무가 공중에 뜰 수 없다는 것 하나뿐입니다.
K.G.A.1Visualize Spatial Relationships3STEP 3
밑면을 맞춰 보고 입체 셋을 지우기
밑면을 맞춰 보면 입체 셋이 지워집니다.
밑면은 쌓기표에서 읽어 내기 가장 쉬운 그림입니다. 쌓기나무가 한 개라도 있는 자리만 물으면 되니까요. 가장 값싼 검사를 가장 먼저 쓰는 것이 요령입니다.
K.G.A.1Eliminate Possibilities4STEP 4
살아남은 셋의 앞에서 본 모양과 오른쪽 옆에서 본 모양 적어 보기
남은 셋의 앞과 옆에서 본 모양을 적어 봅니다.
max(2, 2, 1) = 2, max(3, 2) = 3, max(2) = 2
한 줄에 늘어선 기둥들을 옆에서 보면 꼭대기가 보이는 것은 가장 높은 기둥뿐입니다. 그러니 막대 하나하나는 짧은 키 재기의 우승자일 뿐입니다.
1.MD.A.1Make A Systematic List5STEP 5
하나만 남을 때까지 지우기
그중 둘이 더 지워집니다.
아깝게 빗나간 둘이 이 단계의 알맹이입니다. ③은 한 도형과 맞고 ⑥은 다른 한 도형과 맞습니다. 입체를 받아들이기 전에 모든 방향에서 하나하나 검사해야 하는 이유가 바로 이것입니다.
1.MD.A.1Eliminate Possibilities다른 모든 입체가 본 그림 가운데 하나와 어긋나고 나면, 남아 있는 하나가 답일 수밖에 없다.
왜?
어떤 입체가 만들어 낼 수 없는 그림이 하나만 있어도 그 입체는 지워지며, 다른 그림이 어떻든 상관없다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
후보들이 모든 가능성을 덮으므로, 하나만 남기고 모두 지우면 짐작할 것 없이 답이 남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
6STEP 6
⑤에서 세 방향을 거꾸로 읽어 검산하기
남은 ⑤가 세 그림에 모두 맞습니다.
2 + 3 + 2 = 7 그리고 1 + 2 + 3 = 6
인쇄된 도형의 칸 수를 세어 막대 높이의 합과 견주는 검산은, 머릿속으로 입체를 돌려 보지 않고도 할 수 있는 방법입니다.
5.MD.C.4Visualize Spatial Relationships정답
⑤
답이 1부터 6까지의 번호 하나라는 점부터 문제가 요구하는 꼴에 맞고, 살아남은 입체가 없거나 여럿이 아니라 정확히 하나입니다. 개수도 앞뒤가 맞습니다. ⑤는 6칸 위에 쌓기나무 12개를 쓰고 가장 높은 기둥이 3개인데, 인쇄된 세 도형의 칸 수는 6, 7, 6입니다. 6칸짜리 하나가 밑면이고, 7과 6은 각각 막대 높이의 합 2+3+2와 1+2+3입니다. 아깝게 빗나간 셋도 걱정거리가 아니라 오히려 도움이 됩니다. ①은 밑면에서 걸리고, ③은 왼쪽 도형과는 맞지만 가운데 도형과 맞지 않으며, ⑥도 왼쪽 도형과는 맞지만 앞에서 본 모양이 3, 2, 2가 되어 버립니다. 방향 하나만 어긋나도 탈락인데, 어긋나는 방향이 하나도 없는 것은 ⑤뿐입니다.
핵심 정리
입체를 쌓기표로 적고, 세 그림 중 칸이 공중에 뜰 수밖에 없는 그림을 찾아 그것을 위에서 본 모양으로 정한 다음, 방향 하나씩 짚어 가며 지워 보세요!
- 그림마다 쌓기표로 바꾸어 적기
- 오른쪽 도형만이 위에서 본 모양일 수 있다
- 밑면을 맞춰 보고 입체 셋을 지우기
- 살아남은 셋의 앞에서 본 모양과 오른쪽 옆에서 본 모양 적어 보기
- 하나만 남을 때까지 지우기
- ⑤에서 세 방향을 거꾸로 읽어 검산하기