문제
투명 정육면체
작은 정육면체 18개를 가로 3, 세로 3, 높이 2로 쌓았습니다. 색칠된 6개는 위층의 맨 뒤 왼쪽·가운데 줄 오른쪽·맨 앞 가운데, 아래층의 맨 뒤 오른쪽·가운데 줄 오른쪽·맨 앞 왼쪽입니다. 나머지 12개는 투명이라 보이지 않습니다. 위, 앞, 오른쪽에서 본 모양을 그립니다.
사고력 · 초6-2 쌓은 모양을 위, 앞, 옆에서 본 모양
내 답
조심 앞의 정육면체가 뒤를 가릴 것 같지만 나머지가 투명이라 가리지 않습니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 투명한 정육면체가 섞인 비스듬한 그림은 눈으로 읽기가 무척 어렵습니다. 그래서 그림에서 눈을 떼고 18개 정육면체마다 주소를 붙여 줍니다. 어느 열인지(왼쪽·가운데·오른쪽), 어느 줄인지(뒤·가운데·앞), 어느 층인지(아래·위) 이렇게 세 마디면 자리가 하나로 정해집니다. 그러면 문제는 주소 여섯 개짜리 목록이 되고, 답할 모눈의 칸마다 '이 시선 위에 색칠된 것이 하나라도 있는가?'라는 예·아니오 질문 하나만 반복하면 됩니다. 여기서 관점을 뒤집어 '이 시선이 전부 투명한가?'를 묻는 편이 더 빠릅니다. 빈칸이 되는 조건이 훨씬 드물기 때문입니다. 목록을 믿고 쓰기 전에는 책이 이미 그려 준 앞에서 본 모양으로 검사합니다. 제 주소 목록이 그 그림을 그대로 만들어 낸다면 주소가 맞는 것이고, 그다음부터는 위와 옆에서 본 모양을 마음 놓고 읽어 낼 수 있습니다.
1STEP 1
투명 정육면체의 규칙: 시선 위에 색칠된 것이 하나만 있어도 색이 보인다
시선 위에 색칠된 것이 하나만 있어도 색이 보입니다.
칸이 색칠됨 ⇔ 그 시선 위에 색칠된 정육면체가 하나라도 있음; 칸이 빈칸 ⇔ 시선 위의 정육면체가 모두 투명함
투명한 비닐 몇 장을 겹쳐 들고 창문에 비춰 보는 것과 똑같습니다. 어느 장에 점이 찍혀 있든 그 점은 그대로 비쳐 보입니다. 질문을 '이 줄이 전부 투명한가?'로 바꿔 두면 칸 하나를 판단하는 데 정육면체 두세 개만 훑어보면 됩니다.
6.G.A.4Change Focus Count The Complement속이 비치는 쌓기나무에서는 시선을 따라 어디에든 색 있는 나무가 하나만 있으면 그 칸이 색칠된다.
왜?
한 시선에는 색 있는 나무가 있거나 없거나이며, 그 두 경우가 겹침 없이 모든 칸을 덮는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
각 시선이 그림의 칸을 정확히 하나씩 주므로, 시선을 하나씩 확인하면 빠짐없이 그림이 채워진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
색칠된 정육면체 여섯 개에 주소 붙이기
색칠된 여섯 개에 주소를 붙입니다.
위층: (왼쪽,뒤), (오른쪽,가운데), (가운데,앞); 아래층: (오른쪽,뒤), (오른쪽,가운데), (왼쪽,앞)
극장 좌석이 몇 층 몇 열 몇 번으로 딱 정해지는 것과 같습니다. 정육면체마다 이름이 생기고 나면, 헷갈리는 그림 때문에 틀릴 일이 없는 장부 정리로 문제가 바뀝니다.
K.G.A.1Make A Systematic List3STEP 3
책이 이미 그려 준 앞에서 본 모양으로 주소 검사하기
이미 그려진 앞 모양으로 주소가 맞는지 봅니다.
윗줄 : ■ ■ ■ 아랫줄 : ■ □ ■
이미 주어진 답으로 내 읽기를 검사하는 것은 이 문제에서 가장 값싼 보험입니다. 앞에서 본 모양이 맞아떨어지지 않았다면 잘못은 아직 그리지 않은 두 그림이 아니라 주소 목록에 있었을 테니까요.
5.MD.C.4Draw A Diagram4STEP 4
위에서 본 모양: 아홉 개의 작은 기둥을 하나씩 내려다보기
위에서 보면 색칠된 칸이 5개입니다.
맨 뒤 줄: ■ □ ■ 가운데 줄: □ □ ■ 맨 앞 줄: ■ ■ □
내려다보면 두 층이 답 모눈의 한 칸으로 겹쳐지므로, 아홉 번의 판단마다 살펴볼 정육면체가 둘뿐입니다. 칸 수는 가장 많지만 위에서 본 모양이 셋 중 가장 그리기 쉬운 이유가 여기에 있습니다.
5.MD.C.4Visualize Spatial Relationships5STEP 5
오른쪽 옆에서 본 모양: 세 개짜리 줄 여섯 개를 훑어보기
오른쪽에서 보면 6개가 모두 색칠됩니다.
윗줄 : ■ ■ ■ 아랫줄 : ■ ■ ■
모든 칸이 다 칠해지는 답은 두 번 확인해 볼 만하지만, 여기서는 정말로 그렇게 됩니다. 색칠된 여섯 개가 줄과 층이 서로 다른 여섯 개의 시선에 하나씩 흩어져 있기 때문입니다. 옆으로 지나는 시선은 정육면체 3개짜리라서 2개짜리 기둥보다 색을 훨씬 잘 붙잡습니다.
5.MD.C.4Visualize Spatial Relationships6STEP 6
색칠된 칸 수를 세어 검산하기
칸 수를 세어 보면 5, 5, 6으로 맞습니다.
위: 6 - 1 = 5, 앞: 6 - 1 = 5, 오른쪽 옆: 6 - 0 = 6
같은 여섯 개를 세 가지 방향으로 세어 보면 실수를 잡을 기회가 세 번 생기고, 어느 셈이든 손가락으로 셀 만큼 작습니다. '색칠된 것 하나에 한 칸, 단 서로 뒤에 숨는 것은 빼기'라는 규칙이 세 그림이 서로 그토록 다르게 보이는 까닭을 설명해 줍니다.
5.MD.C.3Make A Systematic List정답
색칠된 칸 5, 5, 6
6 − 1 = 5, 6 − 0 = 6
두 답의 모양과 크기부터 말이 됩니다. 밑면이 3 × 3인 것을 내려다보았으니 3 × 3 그림이 나와야 하고, 뒤에서 앞으로 3개이고 높이가 2개인 것을 옆에서 보았으니 가로 3칸 세로 2칸 그림이 나와야 하는데, 문제의 답 모눈이 정확히 그 크기입니다. 칠한 칸 수도 앞뒤가 맞습니다. 색칠된 정육면체가 6개뿐이니 어느 그림도 6칸을 넘길 수 없는데, 위에서 본 모양은 5칸, 앞에서 본 모양은 5칸, 오른쪽 옆에서 본 모양은 6칸이라 한 번도 넘지 않습니다. 이 숫자들은 그 방향으로 색칠된 정육면체가 몇 쌍이나 겹쳐 서는지로 그대로 설명됩니다. 위아래로 한 쌍, 앞뒤로 한 쌍, 옆으로는 한 쌍도 없습니다. 마지막으로 너무 비어 있지도 않은지 봅니다. 각 층에 색칠된 것이 3개씩 있고 옆에서 본 모양의 한 줄이 곧 한 층이므로, 오른쪽 옆에서 본 모양에는 빈 줄이 나올 수가 없습니다.
핵심 정리
투명한 정육면체는 아무것도 가리지 않아요. 그래서 내가 바라보는 줄 위 어딘가에 색칠된 것이 하나만 있어도 그 칸은 색칠된답니다!
- 투명 정육면체의 규칙: 시선 위에 색칠된 것이 하나만 있어도 색이 보인다
- 색칠된 정육면체 여섯 개에 주소 붙이기
- 책이 이미 그려 준 앞에서 본 모양으로 주소 검사하기
- 위에서 본 모양: 아홉 개의 작은 기둥을 하나씩 내려다보기
- 오른쪽 옆에서 본 모양: 세 개짜리 줄 여섯 개를 훑어보기
- 색칠된 칸 수를 세어 검산하기