문제
동전 뒤집기
동전 다섯 개가 모두 그림면이 위로 놓여 있습니다. 한 번 뒤집는다는 것은 다섯 중 셋을 골라 함께 뒤집는 것입니다. 모두 숫자면이 위로 오게 해야 합니다. 가장 적게 뒤집는 횟수를 구합니다.
사고력 · 초6-2 바꾸기와 뒤집기
내 답
조심 두 번이면 될 것 같지만 뒤집을 때마다 홀짝이 바뀌어 홀수 번이어야 합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 어느 동전을 뒤집는지 쫓아다니는 대신 수 하나만 지켜봅니다. 지금 숫자면이 위인 동전이 몇 개인가 하는 수입니다. 한 번 뒤집을 때 이 수가 어떻게 변할 수 있는지를 빠짐없이 적어 보면 네 가지뿐이고, 거기서 절대 깨지지 않는 규칙이 드러납니다. 이 수는 늘 홀수만큼 변하므로 뒤집을 때마다 짝수와 홀수를 오간다는 것입니다. 이것만으로 문제의 절반이 끝납니다. 0은 짝수이고 5는 홀수이니 뒤집은 횟수는 홀수여야 하기 때문입니다. 그러면 남는 후보는 1과 3뿐이니 추측하고 확인하기로 따져 보면 되고, 진짜 동전 다섯 개를 놓고 만져 보거나 종이에 동전 다섯 개를 그려 보는 것이 가장 빠릅니다.
1STEP 1
수 하나만 좇기: 숫자면이 위인 동전의 개수
숫자면인 동전의 개수를 0에서 5로 옮기면 됩니다.
0 ⟶ 5
진짜 동전 다섯 개를 늘어놓고 뒤집을 때마다 숫자면만 세어 보면, 동전 다섯 개짜리 퍼즐이 수 하나를 지켜보는 일로 바뀝니다. 다섯 개의 면을 따로따로 기억하는 것보다 수 하나를 기억하는 편이 훨씬 안전합니다.
4.OA.C.5Create A Physical Representation2STEP 2
한 번 뒤집기가 그 수에 하는 일을 빠짐없이 적기
한 번 뒤집으면 그 수가 3, 1만큼 오르내립니다.
(3-t)-t = 3-2t → +3, +1, -1, -3
고른 세 개가 숫자면과 그림면으로 갈리는 방법은 네 가지뿐이니 목록이 네 줄이면 끝납니다. 빠짐없이 적어 놓았다는 것이 다음 단계를 빈틈없게 만듭니다.
3.OA.D.8Make A Systematic List3STEP 3
규칙 발견하기: 뒤집을 때마다 짝수와 홀수가 바뀐다
그래서 뒤집을 때마다 홀짝이 바뀝니다.
짝수 → 홀수 → 짝수 → 홀수 → …
짝수인지 홀수인지는 둘씩 짝지어 보고 하나가 남는지 보면 알 수 있습니다. 홀수만큼 더하면 그 짝이 반드시 어긋나기 때문에 짝홀이 바뀌는 것을 피할 수 없습니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern매번 뒤집을 때마다 숫자 면인 동전의 개수가 짝수와 홀수 사이를 오가므로, 홀짝은 몇 번 뒤집었는지로 정해진다.
왜?
매번 뒤집을 때마다 그 개수가 홀수만큼 달라지고, 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀐다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
한 번의 뒤집기가 나올 수 있는 경우는 넷뿐이고 그 모두가 개수를 홀수만큼 바꾸므로, 규칙을 벗어나는 경우가 없다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
4STEP 4
가능한 횟수가 무엇인지 읽어 내기
0에서 5로 가려면 홀수 번이어야 합니다.
짝수 개의 물건에 둘씩 더해서는 결코 홀수 개가 될 수 없다는 것과 같은 이야기입니다. 여기서는 뒤집을 때마다 홀수만큼 더해지니 짝홀이 전등 스위치처럼 딸깍딸깍 바뀝니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern5STEP 5
가장 작은 홀수인 1번을 시험해 보기
한 번으로는 3까지밖에 못 가 모자랍니다.
0 + 3 = 3 ≠ 5
3보다 작은 홀수는 하나뿐이니, 이것저것 뒤질 것 없이 한 번만 확인하면 끝납니다.
3.OA.D.8Guess And Check6STEP 6
3번이면 정말 되는지 보이기
세 번이면 0, 3, 2, 5로 갈 수 있습니다.
0 → 3 → 2 → 5
뒤집을 때마다 다섯 개를 모두 적어 두면 동전 하나하나까지 확인할 수 있고, 개수 0, 3, 2, 5가 짝, 홀, 짝, 홀로 이어지는 것도 앞서 찾은 규칙 그대로입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List7STEP 7
두 부분을 합치기
그래서 가장 적은 횟수는 3번입니다.
어느 한쪽만으로는 부족합니다. 짝홀 이야기만으로는 3번에 닿을 수 있는지 알 수 없고, 예시만으로는 1번이나 2번이 몰래 되지는 않는지 알 수 없습니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern정답
3 번
0 → 3 → 2 → 5
답은 횟수이므로 자연수가 맞고, 동전 다섯 개짜리 퍼즐에서 3은 충분히 작은 수입니다. 도중에 나온 개수 0, 3, 2, 5는 모두 0과 5 사이에 있는데 동전이 다섯 개뿐이니 당연합니다. 그리고 짝, 홀, 짝, 홀로 번갈아 가는 것이 동전을 뒤집기 전에 찾아 둔 짝홀 규칙과 딱 맞습니다. 짝홀 주장을 확인하는 좋은 방법이 하나 더 있습니다. 2번으로 5에 닿을 수 있는지 따져 보는 것입니다. 모두 그림면에서 시작하면 첫 번째 뒤집기 뒤에는 숫자면이 반드시 3개이고, 숫자면 3개인 상태에서는 그림면이 2개뿐이므로 두 번째 뒤집기 뒤에는 4개, 2개, 0개만 될 수 있습니다. 모두 짝수여서 5는 결코 나오지 않습니다. 동전이 다섯 개가 아니라 네 개였다면 답이 달라진다는 것도 눈여겨볼 만합니다. 목표인 4가 짝수이니 짝수 번 뒤집어야 하기 때문입니다. 답을 좌우하는 것은 결국 목표 개수의 짝홀입니다.
핵심 정리
동전 세 개를 뒤집으면 숫자면의 개수가 언제나 홀수만큼 변하니 짝수와 홀수가 번갈아 나옵니다. 그것만으로도 답이 홀수 번이라는 것을 알 수 있습니다.
- 수 하나만 좇기: 숫자면이 위인 동전의 개수
- 한 번 뒤집기가 그 수에 하는 일을 빠짐없이 적기
- 규칙 발견하기: 뒤집을 때마다 짝수와 홀수가 바뀐다
- 가능한 횟수가 무엇인지 읽어 내기
- 가장 작은 홀수인 1번을 시험해 보기
- 3번이면 정말 되는지 보이기
- 두 부분을 합치기
이어서 풀어볼까요