문제
패리티의 활용 (1)
동전 3개가 모두 그림면이 보이게 놓여 있습니다. 한 번에 동전 1개씩 아무거나 골라 뒤집습니다. 11번 뒤집은 뒤에는 첫째와 셋째가 그림면이고, 20번 뒤집은 뒤에는 첫째가 숫자면입니다. 가려진 동전이 어느 면인지 구합니다.
사고력 · 초5-2 패리티
내 답
조심 뒤집은 순서를 알아야 할 것 같지만 횟수의 홀짝만으로 면이 정해집니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 뒤집는 순서는 경우의 수가 너무 많습니다. 동전 3개를 11번 뒤집는 순서만 해도 수천 가지가 넘으니 하나씩 나열하는 길은 처음부터 막혀 있습니다. 그래서 순서를 아무리 뒤섞어도 절대 변하지 않는 것 하나를 찾습니다. 동전 하나가 어느 면을 보이는지는 그 동전이 몇 번 뒤집혔는가에만 달려 있고, 언제 뒤집혔는가와는 아무 상관이 없습니다. 그러면 이 문제는 합이 11 또는 20이 되는 세 수의 이야기로 바뀌고, 합의 홀짝 규칙이 (1)과 (2)를 모두 정리해 줍니다. 동전 하나를 실제로 몇 번 뒤집어 보면 그 규칙이 바로 보이고, 동전 3개 대신 1개부터 살펴보면 규칙이 더 또렷해집니다.
1STEP 1
동전 하나를 계속 뒤집으며 지켜보기
한 동전을 뒤집으면 면이 번갈아 바뀝니다.
0 → 그림, 1 → 숫자, 2 → 그림, 3 → 숫자, 4 → 그림, …
뒤집기를 둘씩 짝지어 없애는 것과 같습니다. 물건을 둘씩 짝지어 홀수인지 짝수인지 가리는 방법 그대로입니다. 짝이 맞는 두 번은 서로 지워지고, 마지막에 짝 없이 남은 한 번이 있느냐 없느냐가 면을 정합니다.
2.OA.C.3Create A Physical Representation2STEP 2
순서는 버리고 횟수만 적어 두기
동전별 횟수를 더하면 전체 횟수입니다.
(첫 번째 횟수) + (두 번째 횟수) + (세 번째 횟수) = (전체 횟수)
복잡한 순서를 횟수 3개로 다시 적는 순간 문제가 작아집니다. 11번을 상자 3개에 나누어 담으면 상자에 담긴 수를 다시 더해 11이 된다는 것쯤은 초등학생도 바로 압니다.
2.OA.A.1Organize Information In More Ways3STEP 3
모든 일을 해내는 성질 하나로 정리하기
짝수 번이면 그림면, 홀수 번이면 숫자면입니다.
횟수 짝수 ⇔ 그림면, 횟수 홀수 ⇔ 숫자면
자연수를 더할 때 홀짝은 정해진 규칙을 따릅니다. 짝수+짝수는 짝수, 홀수+짝수는 홀수, 홀수+홀수는 짝수입니다. 그래서 부분이 보이지 않아도 합의 홀짝만 알면 부분에 대해 확실히 말할 수 있습니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern동전의 면은 몇 번 뒤집혔는지에만 달려 있고, 그 뒤집기가 언제 일어났는지에는 달려 있지 않다.
왜?
뒤집을 때마다 동전이 두 면 사이를 오가므로, 두 번은 서로 지워지고 홀짝만이 살아남는다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
전체 과정은 낱낱의 뒤집기를 합친 것이므로, 그것들이 온 순서가 마지막 상태에 영향을 줄 수 없다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
(1) 11번, 첫 번째와 세 번째가 그림면일 때
(1)에서 남은 동전의 횟수는 홀수입니다.
(짝수)_첫 번째 + (두 번째) + (짝수)_세 번째 = 11 → (두 번째) = 11 - (짝수) = 홀수
실제 횟수가 몇인지는 끝까지 알 필요가 없습니다. 짝수 둘의 합은 짝수뿐이고, 홀수에서 짝수를 빼면 반드시 홀수가 남습니다. 이 사실 하나가 가려진 동전을 못 박아 줍니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern5STEP 5
(1) 실제 뒤집기 한 가지로 확인하기
그러니 두 번째 동전은 숫자면입니다.
2 + 7 + 2 = 11
그림에 맞는 쉬운 예를 하나 만들어 보는 것은 홀짝 논리를 잘못 읽지 않았는지 값싸게 점검하는 방법입니다. 20 이하의 덧셈 한 번이면 끝납니다.
2.OA.A.1Solve An Easier Related Problem6STEP 6
(2) 20번, 첫 번째가 숫자면일 때
(2)에서 남은 두 동전의 횟수 합은 홀수입니다.
(두 번째) + (세 번째) = 20 - (홀수)_첫 번째 = 홀수
두 수를 더할 때의 홀짝 규칙은 바둑돌로 익힌 그대로입니다. 홀수+홀수도, 짝수+짝수도 짝을 남김없이 맞출 수 있으니, 합이 홀수가 되는 길은 홀수와 짝수를 하나씩 쓰는 것뿐입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern7STEP 7
(2) 횟수를 다시 면으로 읽기
그래서 두 동전은 서로 다른 면입니다.
1 + 18 + 1 = 20 (두 번째 그림, 세 번째 숫자), 1 + 19 + 0 = 20 (두 번째 숫자, 세 번째 그림)
그림에는 똑같이 맞으면서 어느 동전이 숫자면인지는 서로 다른 예가 두 개 있다는 사실이, '서로 다른 면'까지가 알 수 있는 전부임을 보여 줍니다. 문제가 딱 거기까지만 물었는지 확인하는 습관이 필요합니다.
2.OA.C.3Solve An Easier Related Problem정답
숫자면 / 서로 다른 면
11 − 짝수 = 홀수
두 답 모두 수가 아니라 동전의 면이고, 이는 문제가 물은 것과 맞습니다. 게다가 둘 다 짐작이 아니라 반드시 그럴 수밖에 없는 결론입니다. 가장 중요한 점검은 어떤 뒤집기 순서를 가져와도 답이 흔들리지 않는가입니다. (1)에서는 2+7+2=11이 그림과 맞고 두 번째 동전은 숫자면입니다. 첫 번째와 세 번째가 짝수인 채로 두 번째까지 짝수이면 합이 짝수가 되어 11이라는 홀수를 만들 수 없습니다. (2)에서는 1+18+1=20과 1+19+0=20이 모두 그림과 맞고, 두 경우 다 가려진 두 동전의 면이 서로 다릅니다. 두 번째와 세 번째의 횟수 합이 홀수이니 당연한 일입니다. 두 문항이 서로 다르게 행동해야 한다는 점도 확인해 둘 만합니다. 11은 홀수, 20은 짝수이므로 (1)에서는 면이 바뀐 동전이 홀수 개, (2)에서는 짝수 개여야 하고 답이 정확히 그렇습니다.
핵심 정리
동전은 몇 번 뒤집혔는지만 기억할 뿐 언제 뒤집혔는지는 기억하지 않습니다. 그래서 전체 횟수의 홀짝만 알아도 보이지 않는 동전까지 알아맞힐 수 있습니다.
- 동전 하나를 계속 뒤집으며 지켜보기
- 순서는 버리고 횟수만 적어 두기
- 모든 일을 해내는 성질 하나로 정리하기
- (1) 11번, 첫 번째와 세 번째가 그림면일 때
- (1) 실제 뒤집기 한 가지로 확인하기
- (2) 20번, 첫 번째가 숫자면일 때
- (2) 횟수를 다시 면으로 읽기
이어서 풀어볼까요