문제
효율적으로 계획하기(1)
모래시계 두 개가 있고 각각 11분과 7분이 걸립니다. 유리에 눈금이 없어 알려 주는 것은 모래가 다 떨어지는 순간뿐입니다. 모래시계는 언제든 뒤집을 수 있습니다. 정확히 15분을 재는 방법을 구합니다.
사고력 · 초6-2 최적 설계
내 답
조심 처음부터 15분을 재려 하면 막히지만 조금 뒤에 시작하면 됩니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 모래시계 두 개가 동시에 돌아가면 머릿속으로만 따라가기가 어지럽습니다. 그런데 그림으로는 아주 깔끔하게 그려집니다. 11분짜리의 시간 띠를 위에, 7분짜리의 시간 띠를 아래에 놓고 모래가 떨어지는 순간마다 눈금을 찍으면 방법이 한눈에 보입니다. 두 띠를 나란히 놓는 순간, 어느 모래시계 하나로는 잴 수 없던 새로운 길이가 나타납니다. 7분과 11분 사이에 남는 4분짜리 틈입니다. 그러면 문제가 더 작은 문제로 바뀝니다. 가진 조각으로 15를 만들면 되고, 15 = 4 + 11이 바로 그 조각 목록입니다. 둘을 같이 시작할까, 하나를 늦게 시작할까 하고 몇 가지를 시도해 그림에 대 보는 과정에서 그 남는 틈을 발견하게 됩니다. 진짜 모래시계 두 개나 모래를 담은 컵 두 개가 있으면 방법을 직접 연기해 보며 뒤집는 순간을 눈으로 볼 수도 있습니다.
1STEP 1
모래시계 하나만으로는 왜 안 되는지 보기
한 시계의 배수만으로는 15가 나오지 않습니다.
11, 22, 33, … 과 7, 14, 21, 28, … 어느 쪽에도 15는 없음
모래시계 하나가 만들 수 있는 시간을 죽 적어 보는 것은 11씩, 7씩 뛰어 세기입니다. 두 목록 어디에도 15가 없다는 사실만으로 답이 둘을 섞는 데서 나와야 함을 알 수 있습니다.
3.MD.A.1Guess And Check2STEP 2
두 개를 동시에 시작하고 시간 띠 두 줄을 그리기
둘을 동시에 시작해 시간 띠 두 줄을 그립니다.
11 - 7 = 4
수직선 위의 걸린 시간은 곧 길이입니다. 7분짜리가 다 떨어졌을 때 11분짜리에 남아 있는 양은 두 길이의 차, 곧 11에서 7을 뺀 것입니다.
3.MD.A.1Draw A Diagram3STEP 3
두 모래시계가 함께 만들어 낸 4분짜리 조각 알아보기
7분째와 11분째 사이에 4분짜리 조각이 생깁니다.
7분부터 11분까지 = 4분
7컵짜리와 11컵짜리 그릇으로 4컵을 재는 것과 똑같은 요령입니다. 잴 수 있는 것은 두 그릇의 크기만이 아니라 그 사이의 차이이기도 합니다.
3.MD.A.1Draw A Diagram두 모래시계를 함께 시작하면 어느 시계도 혼자서는 잴 수 없는 4분짜리 조각이 생긴다.
왜?
두 시계가 같은 순간에 시작하므로, 각각이 다 흐르는 시점의 간격은 두 시간의 차와 정확히 같다.
🧱둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
왜?
그다음 목표는 그 조각들을 이어 붙여 만들어지므로, 그것들로 이루어진 어떤 합이든 정확히 잴 수 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
15를 만들 수 있는 조각으로 쪼개기
15는 4 더하기 11로 쪼갤 수 있습니다.
4 + 11 = 15
전체를 다루기 좋은 두 부분으로 가르는 것은 평범한 덧셈 사고입니다. 여기서 부분이 물건의 개수가 아니라 시간 토막이라는 점만 새롭습니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems5STEP 5
방법을 말로 정리하기
7분째에 시작해 11분째에 큰 시계를 뒤집습니다.
7분에 시작, 7 + 4 = 11, 11 + 11 = 22
방법에 나오는 모든 지시가 준석이 눈에 실제로 보이는 순간, 곧 모래가 다 떨어지는 순간에 걸려 있습니다. 모래가 얼마나 남았는지를 눈대중해야 하는 대목이 한 군데도 없습니다.
3.MD.A.1Draw A Diagram6STEP 6
시계를 보며 방법 점검하기
22분째까지가 정확히 15분입니다.
3{:}22 - 3{:}07 = 15분
방법에 실제 시각을 얹어 보는 것이 어느 1분도 두 번 세거나 빠뜨리지 않았음을 확인하는 가장 빠른 길입니다. 마지막 뺄셈이 정확히 15에 떨어져야 하니까요.
3.MD.A.1Guess And Check정답
7분째부터 22분째까지
4 + 11 = 15
방법에 나오는 수가 모두 분 단위이고 모든 단계가 눈에 보이는 두 사건 사이의 걸린 시간이므로 단위가 어긋나지 않습니다. 크기도 그럴듯합니다. 15분은 큰 모래시계 혼자 만들 수 있는 11분과 22분 사이에 놓이므로, 답은 온전한 한 판에 부분 토막을 이어 붙여야만 나올 수밖에 없습니다. 전체를 다른 방식으로 한 번 더 확인해 보면, 이 과정은 0분에 시작해 22분에 끝나고 앞의 7분은 재는 구간에 들어가지 않으므로 22 - 7 = 15분입니다. 4 + 11로 얻은 답과 같습니다. 게다가 이 방법은 준석이에게 절반쯤 남은 모래시계를 읽으라고 요구하지 않는데, 모래시계가 결코 알려 줄 수 없는 것이 바로 그것이었습니다.
핵심 정리
모래시계 두 개는 두 가지 길이만 주는 게 아니에요. 둘 사이의 틈인 11 - 7 = 4분이라는 세 번째 길이로도 시간을 지을 수 있답니다!
- 모래시계 하나만으로는 왜 안 되는지 보기
- 두 개를 동시에 시작하고 시간 띠 두 줄을 그리기
- 두 모래시계가 함께 만들어 낸 4분짜리 조각 알아보기
- 15를 만들 수 있는 조각으로 쪼개기
- 방법을 말로 정리하기
- 시계를 보며 방법 점검하기
이어서 풀어볼까요