문제
주사위 눈의 수의 합의 최대·최소
마주 보는 면의 눈의 합이 7인 주사위 4개를 곧게 쌓아 탁자에 세웠습니다. 기둥의 옆면과 맨 위 면은 모두 볼 수 있고 맨 위 면에는 눈이 3개 있습니다. 바닥 면을 포함해 보이지 않는 면의 눈의 합을 구합니다.
사고력 · 초5-2 주사위
내 답
조심 주사위마다 어떻게 놓였는지 알아야 할 것 같지만 가운데 주사위는 언제나 7씩 숨깁니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 이 문제에서 가려진 면의 눈의 수는 거의 다 모릅니다. 그러니 한 면씩 알아내려고 덤비면 길이 막힙니다. 대신 진짜 주사위 네 개를 쌓아 손에 들고 돌려 보거나, 기둥을 옆에서 본 그림을 그린 뒤 보이지 않는 면을 색칠해 보면 중요한 사실이 곧바로 드러납니다. 가려진 면들이 아주 반듯하게 놓여 있다는 것입니다. 맨 위에는 한 면만 혼자 가려져 있고, 나머지 세 주사위는 저마다 윗면과 밑면이 짝으로 가려져 있습니다. 그래서 기둥을 주사위 한 개짜리 작은 문제 네 개로 쪼개는 것이 풀이의 열쇠가 됩니다. 윗면과 밑면은 마주 보는 면이고, 마주 보는 두 면의 합이 7이라는 것은 문제가 이미 알려 주었기 때문입니다. 아래쪽 세 주사위에서 똑같은 7이 되풀이되는 규칙 덕분에, 네 개의 작은 답이 짧은 계산 하나로 모입니다.
1STEP 1
주사위를 쌓고 보이지 않는 면에 색칠하기
보이지 않는 면은 모두 7개입니다.
1 + 2 + 2 + 2 = 7 (보이지 않는 면의 개수)
평면 그림만 보고 짐작하는 것보다, 진짜 기둥을 손으로 돌려 보는 편이 어느 면이 가려졌는지를 훨씬 확실하게 알려 줍니다. 게다가 개수를 먼저 세어 두면 눈의 수를 몇 개나 채워야 하는지도 알 수 있습니다.
K.G.B.4Create A Physical Representation2STEP 2
기둥을 주사위 한 개짜리 문제 네 개로 쪼개기
기둥을 주사위 하나씩으로 쪼갭니다.
보이지 않는 눈의 합 = (첫째) + (둘째) + (셋째) + (넷째)
주사위끼리 서로의 눈의 수에 영향을 주지 않으니 기둥을 한 개씩 떼어 놓아도 손해가 없습니다. 그러면 각각은 정육면체 하나에 대한 사실 하나로 답할 수 있는 물음이 됩니다.
K.G.B.4Identify Subproblems3STEP 3
맨 위 주사위: 가려진 면은 3의 맞은편
맨 위 주사위는 4를 숨깁니다.
3 + □ = 7 → □ = 7 - 3 = 4
7을 만들려면 얼마를 더해야 하는지 찾는 것은 초등 저학년도 하는 계산입니다. 그리고 이 문제에서 그림에 적힌 수를 실제로 쓰는 곳은 여기 한 군데뿐입니다.
1.OA.B.4Identify Subproblems4STEP 4
나머지 세 주사위는 저마다 꼭 7씩 숨긴다
나머지 셋은 저마다 7씩 숨깁니다.
둘째 = 7, 셋째 = 7, 넷째 = 7
똑같은 상황이 세 번 되풀이되면 규칙으로 이름을 붙여 둘 만합니다. '위아래로 끼인 주사위는 언제나 7을 숨긴다'라고 정리해 두면, 모르는 면의 수를 억지로 짐작할 일이 없습니다.
K.G.B.4Look For A Pattern맨 위를 뺀 각 주사위는 정확히 7을 감추는데, 감춰진 면들이 마주 보는 한 쌍이기 때문이다.
왜?
위 주사위와 닿는 면과 아래 주사위와 닿는 면은 서로 마주 보며, 주사위의 마주 보는 면은 언제나 합이 7이다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
탑 전체의 감춰진 합은 각 주사위가 감춘 양을 더한 것이므로, 네 몫을 그냥 더하면 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
5STEP 5
네 몫을 모두 더하기
모두 더하면 25입니다.
4 + 7 × 3 = 4 + 21 = 25
7이 세 묶음이라는 곱셈은 7 + 7 + 7로 바꾸어 확인할 수도 있습니다. 거기에 덧셈 한 번만 더하면 문제가 끝납니다.
3.OA.D.8Identify Subproblems6STEP 6
답이 무엇에 기대고 있지 않은지 살펴보기
주사위를 돌려 놓아도 답은 그대로입니다.
가운데 주사위 → 윗면 + 밑면 = 7
답이 어떤 조건에 정말로 기대고 있는지 되짚어 보는 습관은 큰 도움이 됩니다. 여기서는 그림에 적힌 수 하나로 충분하다는 것이 드러나므로, 문제에 빠진 조건이 없다는 것도 함께 확인됩니다.
K.G.B.4Look For A Pattern정답
25
4 + 7 × 3 = 25
크기가 알맞습니다. 보이지 않는 면은 7개이고 한 면의 눈은 1부터 6까지이므로, 합은 아무리 작아도 7, 아무리 커도 42입니다. 25는 그 사이에 넉넉히 들어갑니다. 한 면에 평균 3.5개씩 있다고 보면 7개 면에 약 24.5개이니 그 어림값과도 가깝습니다. 부분끼리도 어긋나지 않습니다. 4 + 7 + 7 + 7 = 25이고, 7 × 3 = 21에 21 + 4 = 25입니다. 마지막으로 답이 눈의 개수를 센 것이므로 단위가 붙지 않는 자연수가 나오는 것도 알맞습니다.
핵심 정리
무언가 사이에 끼인 주사위는 윗면과 밑면을 숨기는데, 그 둘의 합은 언제나 7입니다. 그러니 숨은 수가 무엇인지 몰라도 답을 낼 수 있어요!
- 주사위를 쌓고 보이지 않는 면에 색칠하기
- 기둥을 주사위 한 개짜리 문제 네 개로 쪼개기
- 맨 위 주사위: 가려진 면은 3의 맞은편
- 나머지 세 주사위는 저마다 꼭 7씩 숨긴다
- 네 몫을 모두 더하기
- 답이 무엇에 기대고 있지 않은지 살펴보기
이어서 풀어볼까요