문제
전개도에 선 긋기
같은 정육면체가 세 번 나오고 그때마다 세 면에 선분이 그어져 있습니다. 옆에는 그 정육면체의 전개도가 함께 놓여 있습니다. 전개도는 세 번 모두 모양이 다릅니다. 선분 세 개를 전개도에 옮겨 그립니다.
사고력 · 초5-2 무늬가 있는 정육면체의 전개도
내 답
조심 어느 면인지만 맞히면 될 것 같지만 꼭짓점의 자리까지 맞아야 선분이 제자리에 놓입니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 여섯 면을 머릿속에 한꺼번에 담아 두는 사람은 없으니 아예 그러려고 하지 않습니다. 전개도를 종이에 옮겨 그려 오려 놓고, 한 칸씩 규칙 하나로 기호를 채워 갑니다. 그 규칙은 '접는 선을 함께 쓰는 두 칸은 그 선 양 끝의 기호를 함께 쓴다'입니다. 기호가 이미 적힌 칸에서 출발해 이 규칙을 옆 칸으로 넘기면 어림짐작 없이 전개도 전체에 기호가 퍼집니다. 그다음은 쉽습니다. 붉은 선분은 모두 이름이 붙은 어느 칸의 대각선이니 그 두 꼭짓점을 이으면 그만입니다. 마지막에 종이를 접어서 붉은 선의 끝이 정육면체 위에서 제대로 만나는지 보면, 기호를 옳게 붙였다는 증거가 됩니다.
1STEP 1
정육면체의 여섯 면에 이름 붙이기
정육면체의 여섯 면에 이름을 붙입니다.
윗면 ㄱㄴㄷㄹ, 아랫면 ㅁㅂㅅㅇ, 앞면 ㄴㄷㅅㅂ, 뒷면 ㄱㄹㅇㅁ, 왼쪽 면 ㄱㄴㅂㅁ, 오른쪽 면 ㄷㄹㅇㅅ
여섯 줄을 적는 데는 1분이면 되고, 그 대가로 뒤에 나올 어림짐작이 전부 사라집니다. 정육면체의 면은 여섯 개뿐이라 목록이 짧으니 매번 적어 둘 만합니다.
6.G.A.4Make A Systematic List2STEP 2
전개도 전체를 채우는 규칙 하나 세우기
전개도의 칸마다 꼭짓점 이름을 채웁니다.
정육면체를 책상 위에서 굴려 보면 눈에 보입니다. 넘어가는 축이 되는 모서리는 책상에서 떨어지지 않으므로, 그 양 끝점은 바닥에 닿아 있던 면과 새로 닿는 면이 함께 가집니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation전개도의 한 칸에 이름을 붙이고 나면, 나머지 모든 칸의 면은 접히는 방식으로 정해진다.
왜?
접기는 전개도의 각 칸을 정육면체의 한 면으로 정확히 보내므로, 이름 붙이기가 시작되면 남는 자유가 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
접기는 무엇도 늘이지 않으므로, 면에 그은 선은 그 면의 꼭짓점에 대한 자리를 그대로 지킨다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
3STEP 3
(1) 적혀 있는 기호로 규칙을 점검하고 면을 찾기
(1)에서 적힌 기호로 면의 자리를 확인합니다.
기호가 다 적힌 전개도는 공짜로 얻은 예행연습입니다. 내 규칙이 거기 적힌 기호를 하나도 빠짐없이 다시 만들어 낸다면, 기호가 비어 있는 전개도에서도 그 규칙을 믿을 수 있습니다.
6.G.A.4Make A Systematic List4STEP 4
(1) 선분 세 개 그리기
(1)의 선분 세 개를 꼭짓점끼리 이어 그립니다.
ㄴㄹ → 첫째 칸(왼쪽 아래 → 오른쪽 위), ㅅㄹ → 둘째 칸(오른쪽 아래 → 왼쪽 위), ㄴㅅ → 아래 칸(오른쪽 위 → 왼쪽 아래)
삼각형 ㄴㄹㅅ은 입체 위에서 닫혀 있으므로, 전개도에서도 두 면이 나란히 붙어 있는 곳에서는 조각들이 이어져야 합니다. 대각선을 거꾸로 그었는지 빨리 알아채는 방법입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram5STEP 5
(2) 계단 모양 전개도에 기호 채우기
(2)의 계단 모양 전개도에도 기호를 채웁니다.
아랫줄 왼쪽=윗면 ㄱㄴㄷㄹ, 아랫줄 오른쪽=오른쪽 면 ㄷㄹㅇㅅ, 가운뎃줄 셋째=뒷면 ㄱㄹㅇㅁ, 가운뎃줄 둘째=왼쪽 면 ㄱㄴㅂㅁ, 가운뎃줄 첫째=앞면 ㄴㄷㅅㅂ, 위 칸=아랫면 ㅁㅂㅅㅇ
접힌 정육면체를 머릿속에 그릴 필요가 전혀 없습니다. 접는 선마다 네 기호 중 두 개는 이미 알고 있고, 나머지 두 개는 1단계의 면 목록이 알려 줍니다. 지금 서 있는 면 말고 그 모서리를 품은 면은 하나뿐이기 때문입니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships6STEP 6
(2) 선분 세 개 그리기
(2)의 선분 세 개를 그립니다.
ㄱㄷ → 아랫줄 왼쪽 칸(왼쪽 위 → 오른쪽 아래), ㄷㅇ → 아랫줄 오른쪽 칸(왼쪽 아래 → 오른쪽 위), ㅂㄷ → 가운뎃줄 첫째 칸(오른쪽 위 → 왼쪽 아래)
입체에서는 세 선분이 모두 ㄷ에 닿지만, 전개도는 아직 변을 맞대고 있는 면끼리만 붙여 둘 수 있습니다. 나머지 ㄷ은 잘라 내는 과정에서 떨어져 나갔고, 그래서 셋째 선분이 외따로 떨어져 보이는 것입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram7STEP 7
(3) 가운데 칸을 중심으로 기호 채우기
(3)은 가운데 칸부터 기호를 채웁니다.
가운데=윗면 ㄱㄴㄷㄹ, 위=오른쪽 면 ㄷㄹㅇㅅ, 오른쪽 첫째=앞면 ㄴㄷㅅㅂ, 오른쪽 둘째=아랫면 ㅁㅂㅅㅇ, 아래=왼쪽 면 ㄱㄴㅂㅁ, 아래 칸 왼쪽=뒷면 ㄱㄹㅇㅁ
가운데 칸에서 시작하는 것이 훨씬 편합니다. 나머지 다섯 칸 중 넷이 가운데 칸에 직접 붙어 있어서, 전개도의 대부분이 주어진 것에서 한 걸음 거리에 있습니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships8STEP 8
(3) 선분 세 개 그리기
(3)의 선분 세 개를 그립니다.
ㅅㄹ → 위 칸(왼쪽 아래 → 오른쪽 위), ㄴㄹ → 가운데 칸(왼쪽 위 → 오른쪽 아래), ㄴㅁ → 아래 칸(오른쪽 위 → 왼쪽 아래)
지그재그가 나왔다는 것은 좋은 신호입니다. 입체에서 꼭짓점을 함께 쓰는 선분들은 두 면이 전개도에서도 붙어 있는 한 반드시 맞닿아야 하므로, 세 면이 한 줄로 이어지면 끊기지 않는 하나의 길이 됩니다.
4.G.A.1Draw A Diagram9STEP 9
전개도를 접어서 확인하기
접어 보면 세 전개도 모두 제자리에 놓입니다.
기호를 잘못 붙였다면 종이를 접는 순간 붉은 선이 짝을 모서리 하나만큼 비껴갑니다. 펼친 그림만 들여다봐서는 절대 못 잡을 실수를 접기 한 번이 잡아 줍니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation정답
꼭짓점 이름을 전개도에 옮겨 적고 잇기
서로 다른 세 가지 점검이 모두 같은 결론을 냅니다. 첫째, 세 문제 모두 전개도의 여섯 칸이 정육면체의 서로 다른 여섯 면으로 나왔습니다. 같은 면이 두 번 나오거나 빠진 면이 있었다면 기호를 잘못 붙였다는 뜻인데 그런 일은 없었습니다. 둘째, 접는 선마다 그 선이 가르는 두 칸에 같은 두 기호가 적혀 있습니다. 셋째, 입체에서 꼭짓점을 함께 쓰는 선분들은 두 면이 전개도에서도 붙어 있는 곳에서 실제로 맞닿습니다. (1)에서는 ㄴㄹ과 ㅅㄹ이 가로줄 첫째·둘째 칸 사이 접는 선의 ㄹ에서 만나고, (2)에서는 ㄱㄷ과 ㄷㅇ이 아랫줄 접는 선의 ㄷ에서 만나며, (3)에서는 셋이 가운데 세로줄을 따라 하나의 지그재그로 이어집니다. 그리고 그은 선분은 모두 어느 한 칸의 꼭짓점에서 꼭짓점으로 가는 대각선입니다. 면의 대각선을 펼쳤을 때 반드시 그렇게 되어야 합니다. 책의 답도 정확히 이 아홉 개의 대각선을 보여 줍니다.
핵심 정리
접는 선을 함께 쓰는 두 칸은 그 선 양 끝의 기호를 함께 씁니다. 이것만 적어 넣으면 전개도가 스스로 기호를 채우고, 붉은 선은 그저 알맞은 칸의 대각선으로 옮겨 그리기만 하면 됩니다.
- 정육면체의 여섯 면에 이름 붙이기
- 전개도 전체를 채우는 규칙 하나 세우기
- (1) 적혀 있는 기호로 규칙을 점검하고 면을 찾기
- (1) 선분 세 개 그리기
- (2) 계단 모양 전개도에 기호 채우기
- (2) 선분 세 개 그리기
- (3) 가운데 칸을 중심으로 기호 채우기
- (3) 선분 세 개 그리기
- 전개도를 접어서 확인하기
이어서 풀어볼까요