문제
보이지 않는 면의 무늬 알기
전개도는 가로 4칸에 원, 별, 빈 원, 마름모가 있고 첫째 칸 위에 정사각형, 아래에 십자가 붙어 있습니다. 겨냥도 넷의 윗면·앞면·오른쪽 면은 ㉠ 원·십자·정사각형, ㉡ 원·빈 원·십자, ㉢ 별·원·정사각형, ㉣ 원·십자·별입니다. 이 전개도를 접은 겨냥도를 고릅니다.
사고력 · 초5-2 무늬가 있는 정육면체의 전개도
내 답
조심 마주 보는 짝만 맞으면 될 것 같지만 둘이 남아 도는 방향까지 봐야 합니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 겨냥도가 넷뿐이고 그중 하나만 답이니, 후보가 확실히 유한한 문제입니다. 그러면 답이라면 반드시 갖춰야 할 성질을 하나 정해 놓고 그 성질을 어기는 것부터 지워 가면 됩니다. 가장 값싼 성질은 '어느 면끼리 마주 보는가'입니다. 마주 보는 두 면은 한 그림에 함께 나타날 수 없으니, 세 쌍짜리 목록을 한 번 만들어 네 그림에 그대로 써먹을 수 있습니다. 그래도 후보가 둘 이상 남으면 마주 보는 짝만으로는 부족하다는 뜻이고, 그때는 한 꼭짓점에서 만나는 세 면이 놓인 순서를 봐야 합니다. 이 대목은 전개도를 종이에 옮겨 그려 실제로 접어 보면 깔끔하게 결판이 납니다.
1STEP 1
전개도에서 마주 보는 면끼리 짝짓기
전개도에서 마주 보는 면 세 쌍을 짝지웁니다.
주황색 원 ⇔ 파란색 테두리 원, 보라색 별 ⇔ 황금색 마름모, 초록색 정사각형 ⇔ 초록색 십자
곧게 이어진 띠에서 한 칸 건너뛰면 언제나 맞은편 면에 닿고, 같은 칸에 붙은 두 날개는 언제나 등을 맞대게 됩니다. 이 작은 규칙 둘이면 접어 보지 않고도 여섯 면이 전부 짝지어집니다.
6.G.A.4Make A Systematic List2STEP 2
짝을 이용해 겨냥도 지우기
㉠과 ㉡은 마주 보는 무늬가 함께 보여 지웁니다.
㉠: 십자 ⇔ 정사각형 → 탈락; ㉡: 주황색 원 ⇔ 파란색 원 → 탈락
서로 닿을 일이 없는 두 면이 동시에 내 쪽을 보고 있을 수는 없습니다. 이 검사는 눈길 한 번이면 끝나는데, 여기서는 본격적으로 접어 보기도 전에 후보 절반이 사라집니다.
6.G.A.4Eliminate Possibilities3STEP 3
마주 보는 짝만으로는 끝낼 수 없음을 알아채기
짝만으로는 둘이 남습니다.
오른손 장갑과 왼손 장갑은 같은 부분이 같은 방식으로 이어져 있지만 아무리 돌려도 서로 겹쳐지지 않습니다. 한 꼭짓점 둘레의 세 무늬도 똑같아서, 도는 방향까지 확인해야 합니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships4STEP 4
전개도에서 도는 방향 읽기
전개도에서 한 꼭짓점을 도는 차례를 읽습니다.
그 꼭짓점을 시계 반대 방향으로: 주황색 원 → 초록색 십자 → 보라색 별
무늬가 바깥으로 오게 접으면 세 칸이 꼭짓점을 중심으로 세워질 뿐 어느 칸도 뒤집히지 않습니다. 그래서 접기 전 펼친 그림에서 읽은 순서가 그대로 유지됩니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation세 무늬가 한 꼭짓점 둘레를 도는 순서는 펼친 전개도에서 읽을 수 있고, 접어도 결코 달라지지 않는다.
왜?
접기는 칸들을 꼭짓점 둘레로 세울 뿐 어느 것도 뒤집지 않으므로, 읽히는 방향이 그대로 살아남는다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
꼭짓점에서 세 무늬가 반대 방향으로 읽히는 정육면체는 곧바로 무너지는데, 돌리기로는 고리의 방향을 뒤집을 수 없기 때문이다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
5STEP 5
㉣ 확인하기
㉣의 차례가 전개도와 같습니다.
㉣: 윗면 → 앞면 → 오른쪽 옆면 = 주황색 원 → 초록색 십자 → 보라색 별 ✓
전개도에서 고리를 하나 얻어 두면, 그림을 확인하는 일은 앞쪽 꼭짓점 둘레의 세 무늬를 읽고 순서가 같은지 보는 것으로 끝납니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships6STEP 6
㉢을 확인하고 지우기
㉢은 차례가 거꾸로라 지웁니다.
전개도: 정사각형 → 원 → 별 그러나 ㉢: 별 → 원 → 정사각형 (반대 방향)
같은 세 가지로 이루어졌지만 도는 방향이 반대인 두 고리는 정육면체를 돌리는 것만으로는 결코 겹칠 수 없습니다. 그것이 바로 어떤 모양과 그 거울상의 차이입니다.
6.G.A.4Eliminate Possibilities7STEP 7
전개도를 접어 마무리 확인하기
전개도를 접어 보면 ㉣이 맞습니다.
윗면 = 주황색 원, 앞면 = 초록색 십자, 오른쪽 = 보라색 별, 왼쪽 = 황금색 마름모, 뒤 = 초록색 정사각형, 아랫면 = 파란색 테두리 원
종이는 거짓말을 하지 않습니다. 가위로 2분만 들이면 머리로 따진 답이 손에 잡히는 물건이 되고, 거울상을 잘못 고르는 실수를 잡아내는 가장 확실한 방법이기도 합니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation정답
㉣
답은 네 기호 중 하나여야 하고 실제로 그렇습니다. ㉠과 ㉡은 마주 보는 면 검사에서 걸리고, ㉢은 도는 방향 검사에서 걸리며, ㉣만 두 검사를 모두 통과합니다. 셈도 빠짐없이 맞습니다. 접은 정육면체에 여섯 무늬가 모두 배치되었고 마주 보는 세 쌍이 남거나 겹치는 것 없이 딱 떨어집니다. ㉣이 보여 주는 세 면인 주황색 원, 초록색 십자, 보라색 별도 세 쌍에서 하나씩 나왔는데, 한 꼭짓점에서 만나는 세 면이라면 반드시 그래야 합니다. 종이로 접어 보아도 나오는 것은 ㉣뿐이고, 책의 답도 ㉣입니다.
핵심 정리
마주 보는 두 면은 한꺼번에 보일 수 없습니다. 이것만으로 두 개가 떨어져 나가고, 남은 둘은 한 꼭짓점에서 만나는 세 무늬가 어느 쪽으로 도는지 보면 갈립니다. 거울에 비친 모양은 아무리 돌려도 맞출 수 없으니까요.
- 전개도에서 마주 보는 면끼리 짝짓기
- 짝을 이용해 겨냥도 지우기
- 마주 보는 짝만으로는 끝낼 수 없음을 알아채기
- 전개도에서 도는 방향 읽기
- ㉣ 확인하기
- ㉢을 확인하고 지우기
- 전개도를 접어 마무리 확인하기
이어서 풀어볼까요