문제
최적 경로
길 그림은 정사각형 2개를 위아래로 붙인 것과 정사각형 3개를 옆으로 붙인 것 두 개이고, 한 변이 길 하나로 1 m입니다. 출발점과 도착점은 마음대로 고를 수 있습니다. 모든 길을 적어도 한 번씩 지나야 하고 되돌아간 길도 길이에 셉니다. 가장 짧은 거리를 각각 구합니다.
사고력 · 초4-2 한붓그리기
내 답
조심 길이의 합이 곧 답 같지만 홀수점이 넷이면 한 길을 더 걸어야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 모든 길의 길이를 합한 값이 걸어야 할 거리의 최저선이므로, 진짜 물어볼 것은 되돌아 걷는 일이 얼마나 어쩔 수 없이 생기는가뿐입니다. 그 답은 각 점에 길이 몇 개씩 모이는지를 그림에 적어 보면 나옵니다. 지나치는 점에서는 길이 언제나 둘씩 짝지어 쓰이고, 짝이 남는 것은 출발점과 도착점 둘뿐이기 때문입니다. 그래서 그림에서 홀수점을 세고, 남는 홀수점을 없애려면 어느 길을 중복해서 지나가는 것이 가장 싼지 빠짐없이 적어 본 다음, 실제로 그 거리로 걸어지는 길을 하나 찾아 확인합니다.
1STEP 1
최저선 구하기: 모든 길의 길이의 합
길이의 합은 7 m와 10 m로 최저선입니다.
7 × 1 m = 7 m, 10 × 1 m = 10 m
길의 개수를 세어 1 m씩 곱하면 단위가 흐트러지지 않고, 머리를 쓰기 전에 겨냥할 목표가 먼저 생깁니다.
4.MD.A.2Analyze The Units2STEP 2
각 점에 모인 길의 개수를 적고 홀수점 찾기
점마다 길의 개수를 적어 홀수점을 찾습니다.
작은 수가 홀수인지 짝수인지 가르는 것은 2학년이면 하는 일이고, 들어오는 길과 나가는 길을 둘씩 짝지어 보는 것이 바로 짝수인지 알아보는 그 방법입니다.
2.OA.C.3Draw A Diagram3STEP 3
(1)의 홀수점 세기
(1)의 홀수점은 2개뿐입니다.
2, 2, 3, 3, 2, 2 → 홀수점 2 개
한 점에 모인 길의 개수는 그림을 보며 하나씩 짚어 세면 그만입니다.
2.OA.C.3Draw A Diagram4STEP 4
(1)을 한붓그리기로 걷기, 7 m
그래서 (1)은 최저선 그대로 7 m입니다.
7 m
길을 하나하나 적어 놓고 손가락으로 짚어 따라가 보면, 된다는 말이 짐작이 아니라 아이가 직접 확인할 수 있는 사실이 됩니다.
4.MD.A.2Guess And Check5STEP 5
(2)의 홀수점 세기
(2)의 홀수점은 4개입니다.
2, 3, 3, 2 (위쪽), 2, 3, 3, 2 (아래쪽) → 홀수점 4 개
점마다 길을 세는 똑같은 방법이 둘째 그림에서도 새로운 생각 없이 그대로 통합니다.
2.OA.C.3Draw A Diagram6STEP 6
(2) 홀수점은 2개만 남길 수 있으니 가장 싼 짝을 고르기
가장 싼 길 1 m를 한 번 더 걷습니다.
1, 1, 1, 1, 2, 2 → 가장 싼 것은 1 m
점 4개를 둘씩 짝짓는 방법은 몇 가지밖에 없으니 전부 적어 놓고 가장 짧은 것을 고르면 금방 끝나고 의심할 여지도 없습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List홀수 점은 많아야 둘까지만 남을 수 있으므로, 되짚어 갈 것은 가장 싼 도로 짝이다.
왜?
도로를 되짚어 가면 양 끝 점의 개수가 하나씩 늘어나므로, 그 두 점의 홀짝이 함께 뒤바뀐다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
홀짝을 고칠 수 있는 짝들 가운데 길이를 둘씩 견주면 하나의 순위로 이어지고, 가장 짧은 것이 이긴다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
7STEP 7
(2) 중복해서 지나가는 길을 더해 걸어 보기, 11 m
그래서 (2)는 11 m입니다.
10 + 1 = 11 m
길 전체 길이에 1 m를 더하는 것은 4학년이면 할 수 있는 계산이고, 적어 놓은 경로를 따라가 보면 11 m가 정말 되는지 눈으로 확인됩니다.
4.MD.A.2Guess And Check정답
7, 11 m
10 + 1 = 11
두 답 모두 m로 나오고 자연수인데, 길 하나가 꼬박 1 m이고 걷기는 점에서 점으로만 옮겨 가므로 맞는 모양입니다. 어느 쪽도 길 전체 길이인 7 m와 10 m 아래로 내려갈 수 없는데 실제로 그렇지 않습니다. (1)은 그 최저선에 딱 맞아떨어졌는데, 이보다 좋을 수는 없으며 홀수점이 2개뿐이라 가능한 일입니다. (2)는 최저선보다 1 m만 더 걷는데, 이보다 줄일 수도 없습니다. 홀수점이 4개라 중복해서 지나가는 길이 적어도 하나는 반드시 생기고, 가장 짧게 다시 걸을 수 있는 것이 1 m짜리 길 하나이기 때문입니다. 두 경로 모두 길 하나하나를 짚어 가며 빠진 것이 없는지 확인했습니다.
핵심 정리
점마다 길이 몇 개 모이는지 세어 보세요. 홀수인 점만이 같은 길을 두 번 걷게 만드는 범인이에요.
- 최저선 구하기: 모든 길의 길이의 합
- 각 점에 모인 길의 개수를 적고 홀수점 찾기
- (1)의 홀수점 세기
- (1)을 한붓그리기로 걷기, 7 m
- (2)의 홀수점 세기
- (2) 홀수점은 2개만 남길 수 있으니 가장 싼 짝을 고르기
- (2) 중복해서 지나가는 길을 더해 걸어 보기, 11 m
이어서 풀어볼까요