문제
최단 거리 구하기
가로 직선 위에 점 ㄱ과 점 ㄴ이 있고 ㄱ이 왼쪽입니다. 점 ㄷ을 원점으로 오른쪽과 위를 양의 방향으로 잡으면 ㄱ은 (8, 15.5), ㄴ은 (21.5, 15.5), ㄹ은 (37, 4.5)에 있어 ㄷ과 ㄹ은 모두 직선 아래에 있습니다. 빨간색 선은 ㄷ-ㄱ-ㄹ, 파란색 선은 ㄷ-ㄴ-ㄹ입니다. 어느 선이 더 짧은지 구합니다.
사고력 · 초5-2 대칭인 도형의 활용
내 답
조심 눈으로 짐작하고 싶지만 접어서 펴 보아야 어느 쪽이 짧은지 알 수 있습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 꺾인 선은 자를 한 번에 대고 잴 수 없어서 비교하기가 어렵습니다. 그러면 꺾인 곳이 사라지도록 그림을 다시 그리면 됩니다. 종이를 직선을 따라 접고 점 ㄹ 자리를 바늘로 콕 찔러 보세요. 뚫린 자국은 직선 위쪽에, 점 ㄹ이 직선 아래로 떨어진 만큼 똑같이 떨어진 자리에 생깁니다. 이 점을 점 ㄹ′이라고 부르겠습니다. 접는다고 종이가 늘어나지는 않으므로 (점 ㄱ에서 점 ㄹ까지)와 (점 ㄱ에서 점 ㄹ′까지)의 길이가 같고, 점 ㄴ에서 잰 것도 마찬가지입니다. 그러면 점 ㄷ에서 점 ㄹ까지 가는 꺾인 선은 점 ㄷ에서 점 ㄹ′까지 가는 선과 길이가 같아지고, 문제는 누구나 아는 쉬운 물음으로 바뀝니다. 곧게 그은 선분 ㄷㄹ′에 더 가까이 붙어 가는 쪽이 어느 쪽인가 하는 것입니다. 마지막으로 두 선의 길이를 실제로 재어 답을 확인합니다.
1STEP 1
그림에서 네 점의 위치 읽기
주어진 좌표에서 네 점의 자리를 읽습니다.
ㄷ=(0,0), ㄱ=(8, 15.5), ㄴ=(21.5, 15.5), ㄹ=(37, 4.5)
"그림을 보고 읽으시오"라는 말이 나오면 내 기준선부터 그어 두는 것이 가장 안전합니다. 점마다 수 두 개를 붙여 놓는 순간, 흐릿하던 그림이 계산할 수 있는 대상으로 바뀝니다.
5.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
직선을 따라 접어 점 ㄹ′ 찾기
직선을 따라 접어 ㄹ의 거울점을 찍습니다.
ㄹ' = (37, 26.5), ㄱㄹ = ㄱㄹ', ㄴㄹ = ㄴㄹ'
접는 선은 거울과 같고, 거울은 길이를 그대로 지켜 줍니다. 이 사실 하나 덕분에 다루기 까다로운 점 ㄹ을 편리한 점 ㄹ′로 바꿔 놓아도 선의 길이가 달라지지 않습니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation선을 따라 접으면 D가 거울점 D'로 바뀌고, D'까지 가는 길의 길이는 정확히 같다.
왜?
그 선은 거울처럼 작용해 D를 반대쪽 같은 거리의 점으로 곧장 보낸다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
왜?
비추기는 무엇도 늘이지 않으므로, 여정의 뒷부분은 뒤집어도 길이를 그대로 지킨다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
3STEP 3
두 선을 곧게 펴 보기
접어도 길이가 같으니 두 선을 곧게 펼 수 있습니다.
ㄷㄱ + ㄱㄹ = ㄷㄱ + ㄱㄹ', ㄷㄴ + ㄴㄹ = ㄷㄴ + ㄴㄹ'
다시 그려 놓으면 "꺾인 선 두 개를 비교하는 문제"가 "곧은 선 하나에서 얼마나 돌아가는지 비교하는 문제"로 바뀝니다. 곧은 선이 가장 짧다는 것은 이미 모두가 알고 있는 사실이니까요.
8.G.A.1Organize Information In More Ways4STEP 4
꺾이는 점이 곧은 선분 위에 있는지 보기
꺾이는 점이 곧은 선분에 가까운 쪽은 ㄴ입니다.
(37 × 15.5)/26.5 ≈ 21.6 에 대하여 x_ㄴ = 21.5, x_ㄱ = 8
길이를 하나도 재지 않아도 됩니다. 곧은 선분 ㄷㄹ′이 직선을 가로지르는 자리에 더 가까운 점에서 꺾는 쪽이 더 짧습니다. 그 자리에서 한 걸음 벗어날 때마다 돌아가는 길이 그만큼 늘어나기 때문입니다.
8.G.A.1Solve An Easier Related Problem5STEP 5
빨간색 선의 길이 재기
빨간색 선의 길이는 약 48.5입니다.
ㄷㄱ = √(8²+15.5²) = √(304.25) ≈ 17.44, ㄱㄹ = √(29²+11²) = √(962) ≈ 31.02, 빨간색 ≈ 48.46
모눈 위에서 비스듬한 거리는 언제나 직각삼각형의 빗변입니다. 가로로 간 만큼과 세로로 간 만큼을 빼기로 구한 다음 피타고라스 정리를 쓰면 됩니다.
8.G.B.8Draw A Diagram6STEP 6
파란색 선의 길이를 재어 비교하기
파란색 선은 약 45.5라 더 짧습니다.
ㄷㄴ = √(21.5²+15.5²) = √(702.5) ≈ 26.50, ㄴㄹ = √(15.5²+11²) = √(361.25) ≈ 19.01, 파란색 ≈ 45.51 ＜ 48.46
여기서 계산은 확인일 뿐입니다. 답은 종이를 접는 순간 이미 정해졌고, 수는 그림을 제대로 읽었는지 점검해 주는 역할만 합니다.
8.G.B.8Draw A Diagram정답
파란색 선
모든 길이는 그림을 읽을 때 쓴 모눈 한 칸을 단위로 잰 것입니다. 빗변은 언제나 두 변보다는 길고 두 변의 합보다는 짧아야 하는데, 예를 들어 ㄷㄴ ≈ 26.5는 21.5와 21.5+15.5=37 사이에 잘 들어갑니다. 아래쪽 한계도 있습니다. 직선에 반드시 닿았다 가는 길은 아무리 짧아도 곧은 선분 ㄷㄹ′보다 짧을 수 없는데, 그 길이는 √(37²+26.5²) = √(2071.25) ≈ 45.511입니다. 파란색 선은 약 45.5113으로 이 한계보다 딱 0.001쯤 길 뿐입니다. 점 ㄴ이 곧은 선분과 만나는 자리에 거의 붙어 있으니 당연한 결과이고, 한계보다 짧게 나온 값이 하나도 없으므로 계산이 서로 어긋나지 않습니다. 두 값 모두 점 ㄷ에서 점 ㄹ까지 곧게 잰 거리 약 37.3보다 넉넉히 긴 것도 맞습니다. 직선까지 올라갔다 오는 만큼은 대가를 치러야 하니까요.
핵심 정리
직선을 따라 종이를 접어 멀리 있는 점을 가까운 쪽으로 넘겨 보세요. 꺾인 선이 곧은 선으로 펴지고, 그 곧은 선 가까이에서 꺾는 쪽이 이깁니다.
- 그림에서 네 점의 위치 읽기
- 직선을 따라 접어 점 ㄹ′ 찾기
- 두 선을 곧게 펴 보기
- 꺾이는 점이 곧은 선분 위에 있는지 보기
- 빨간색 선의 길이 재기
- 파란색 선의 길이를 재어 비교하기
이어서 풀어볼까요