문제
복면산
두 자리 수 AB에 자기 자신을 곱합니다. 일의 자리를 곱한 부분곱은 CAB, 십의 자리를 곱한 부분곱은 BDB, 전체 곱은 BEDB입니다. 같은 문자는 같은 숫자, 다른 문자는 다른 숫자이고 A와 B는 0이 아닙니다. B의 후보를 모두 찾고 A, B, C, D, E를 정합니다.
사고력 · 초3-2 복면산과 벌레 먹은 셈
내 답
조심 일의 자리만 보면 B가 넷이지만, B가 맨 앞자리라 0이 안 되고 1이면 부분곱이 두 자리에 그칩니다.
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기 — 일의 자리 규칙인 'B × B의 일의 자리가 B'를 이용하면(B×B의 패턴 찾기) B의 후보가 아주 적은 유한 집합으로 좁혀집니다. 그 후보들을 빠짐없이 나열한 뒤, 알맞은 A를 두 자리 수 AB 몇 개만 추측하고 확인하면 곱셈의 모든 줄이 맞는지 알 수 있습니다.
1STEP 1
일의 자리로 B를 좁히기
B × B의 일의 자리가 B여야 해 후보는 0, 1, 5, 6입니다.
B × B ≡ B (mod 10)
곱셈구구에서 자기 자신의 일의 자리를 되풀이하는 수는 0, 1, 5, 6뿐입니다. 3학년이 구구단만으로도 알 수 있습니다.
3.OA.C.7Look For A Pattern어떤 숫자가 자기 배수의 일의 자리에 다시 나타나는 경우는 0, 1, 5, 6뿐이므로 B는 그 넷 가운데 하나다.
왜?
곱의 일의 자릿수는 곱해지는 일의 자릿수에만 달려 있는데, 그보다 높은 자리는 모두 온전한 십을 위로 올리기 때문이다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
열 개의 숫자를 그 검사 하나에 대어 보면 여섯 개가 한꺼번에 지워지고, 손으로 확인할 만큼 짧은 목록만 남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
1번 답
그래서 (1)의 답은 0, 1, 5, 6입니다.
B ∈ {0, 1, 5, 6}
살아남은 후보만 적어 두면 열 개가 아닌 네 개만 생각하면 되어 탐색이 작아집니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List3STEP 3
B = 0과 B = 1 지우기
B는 맨 앞이라 0이 안 되고 1이면 부분곱이 두 자리라, 남는 건 5와 6입니다.
B ≠ 0, B ≠ 1 → B ∈ {5, 6}
맨 앞자리는 0이 될 수 없고, 1을 곱하면 자릿수가 늘지 않는다는 것은 빠른 점검입니다.
3.OA.A.4Eliminate Possibilities4STEP 4
B = 5 시험하기
B = 5로 시험하면 75 × 5 = 375가 CAB에 딱 맞습니다.
75 × 5 = 375 = 3_C 7_A 5_B
자연스러운 후보 75를 추측하고 확인하면 곧바로 맞아떨어집니다 — 숫자가 정확히 들어맞습니다.
3.OA.C.7Guess And Check5STEP 5
십의 자리 부분곱에서 D 찾기
둘째 부분곱 75 × 7 = 525에서 D = 2입니다.
75 × 7 = 525 = 5_B 2_D 5_B
십의 자리 부분곱도 한 자리 수에 AB를 곱한 것일 뿐이라 기본 3학년 곱셈 사실입니다.
3.OA.C.7Guess And Check6STEP 6
전체 곱에서 E 찾기
전체 곱 75 × 75 = 5625에서 E = 6입니다.
75 × 75 = 5625 = 5_B 6_E 2_D 5_B
한 자리 밀린 두 부분곱을 더하는 것이 바로 세로셈이 최종 답을 만드는 방법입니다.
3.NBT.A.2Guess And Check7STEP 7
B = 6은 안 됨을 확인 — 답은 유일
B = 6은 어느 경우도 맞지 않아 답은 하나뿐입니다.
A=7, B=5, C=3, D=2, E=6
남은 다른 후보 하나를 확인해 보면 답이 유일함이 확인됩니다 — 다른 숫자 조합은 맞지 않습니다.
3.OA.A.4Make A Systematic List정답
B 후보 0, 1, 5, 6 / A=7, B=5, C=3, D=2, E=6 (75 × 75 = 5625)
숫자를 다시 넣어 봅니다: 75 × 5 = 375 = CAB, 75 × 7 = 525 = BDB, 그리고 375 + 5250 = 5625 = BEDB. 세로셈의 모든 줄이 맞고 A, B, C, D, E = 7, 5, 3, 2, 6은 서로 다른 다섯 숫자이므로 답이 일관됩니다.
핵심 정리
자기 자신을 곱했을 때 일의 자리가 그대로 남는 숫자는 0, 1, 5, 6뿐이에요 — 이 한 가지 비밀이면 3학년 곱셈구구만으로 퍼즐 전체를 풀 수 있어요!
- 일의 자리로 B를 좁히기
- 1번 답
- B = 0과 B = 1 지우기
- B = 5 시험하기
- 십의 자리 부분곱에서 D 찾기
- 전체 곱에서 E 찾기
- B = 6은 안 됨을 확인 — 답은 유일