문제
크기가 같은 분수
3/7과 크기가 같은 분수를 찾습니다. 크기가 같은 분수는 분자와 분모에 같은 자연수를 곱한 꼴입니다. 분모는 두 자리 수, 곧 10 이상 99 이하여야 합니다. 그런 분수가 모두 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 분수의 크기 비교
내 답
조심 분모가 두 자리라고 90가지를 세면 안 됩니다. 분모는 반드시 7의 배수여야 합니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 3/7과 크기가 같은 분수는 분자와 분모에 같은 자연수 k를 곱해서 만들므로 분모는 7 x k이다. 이 규칙을 이용해 7 x k가 두 자리 수가 되는 k를 찾고, 그 k의 개수를 센다.
1STEP 1
3/7과 크기가 같은 분수 모두 나타내기
크기가 같은 분수의 분모는 모두 7의 배수입니다.
3/7 = (3 × k)/(7 × k), 분모 = 7k
분자와 분모에 같은 수를 곱하는 것이 크기가 같은 분수를 만드는 기본 규칙이다.
3.NF.A.3Look For A Pattern분자와 분모에 같은 수를 곱하면 겉보기는 다르지만 크기는 똑같은 분수가 된다.
왜?
모든 조각을 같은 수만큼 잘게 자르면 가진 조각 수와 전체를 이루는 조각 수가 똑같은 배로 늘어난다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
왜?
실제로 더해지거나 덜어진 것이 없으므로, 전체에 대한 같은 몫을 두 번째 방식으로 부른 것일 뿐이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
2STEP 2
분모가 두 자리 수가 되도록 하기
분모는 10과 99 사이에 있어야 합니다.
10 ≤ 7k ≤ 99
'두 자리 수'를 10부터 99까지의 범위로 바꾸면 7의 배수를 따져 볼 수 있다.
3.OA.A.4Look For A Pattern3STEP 3
가장 작은 k와 가장 큰 k 찾기
가장 작은 것은 14, 가장 큰 것은 98이고 105는 세 자리입니다.
7 × 2 = 14, 7 × 14 = 98, 7 × 15 = 105
7의 배수를 차례로 적어 보면 두 자리 수 범위에 들어오고 나가는 지점을 정확히 알 수 있다.
3.OA.C.7Make A Systematic List4STEP 4
k의 개수 세기
곱하는 수가 2부터 14까지라 13개입니다.
14 - 2 + 1 = 13
2부터 14까지의 자연수 개수를 세면 분수의 개수가 바로 나온다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List정답
13 개
14 − 2 + 1 = 13
두 자리 수인 7의 배수는 14, 21, 28, ..., 98로, 98까지의 7의 배수 중 7 하나만 빠진 것이다. 98까지 7의 배수는 14개이고 한 자리 수 7을 빼면 13개로 답과 일치한다.
핵심 정리
3/7과 크기가 같은 분수의 분모는 7 x k 꼴이라, 10부터 99 사이에 들어오는 7단 곱셈만 세면 돼요!
- 3/7과 크기가 같은 분수 모두 나타내기
- 분모가 두 자리 수가 되도록 하기
- 가장 작은 k와 가장 큰 k 찾기
- k의 개수 세기
이어서 풀어볼까요