문제
효율적으로 이동하기
여덟 지점 A부터 H까지가 길이를 아는 길들로 이어져 있습니다. H에서 출발해 다른 모든 지점을 한 번씩 지나고 H로 돌아옵니다. 목록에 있는 길로만 다닐 수 있습니다. 가장 짧은 한 바퀴 경로와 그 전체 거리를 구합니다.
사고력 · 초2-2 짧은 길이의 활용
내 답
조심 매번 가장 짧은 길만 따라가면 어떤 지점이 외톨이가 되어 한 바퀴가 닫히지 않습니다. 지점마다 길 두 개가 필요하다는 것부터 봐야 합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 모든 지점을 도는 한 바퀴 경로는 길을 하나씩 이어 붙여 만들므로, 후보 경로를 차례대로 나열하며 길이를 더해 봅니다. 짧은 길(15-20 m짜리가 많음)은 적극 쓰고 긴 길(B-E 50, A-B 45, C-E 40)은 피합니다. 지도를 그려 추측하고 확인하면 가장 좋은 경로로 금방 좁혀집니다.
1STEP 1
짧은 길과 긴 길을 먼저 살피기
쓸 만한 길은 15~20 m가 많고 40, 45, 50 m는 피해야 합니다.
짧음: 15,20,… 비쌈: 50,45,40
전체 합을 작게 하려면 작은 수부터 고르는 것이 좋습니다 — 가벼운 물건부터 가방에 담는 것과 같습니다.
2.MD.B.5Draw A Diagram2STEP 2
가장 비싼 길을 피하는 경로 만들기
비싼 길을 피하면 H-E-G-A-D-B-C-F-H로 경로가 정해집니다.
H→ E→ G→ A→ D→ B→ C→ F→ H
각 지점에는 짧은 출구가 두어 개뿐이라, 가장 짧은 출구를 따라가면 지점들이 깔끔한 한 바퀴로 이어집니다.
2.MD.B.5Make A Systematic List3STEP 3
고른 길들을 더하기
고른 여덟 길을 더하면 175 m입니다.
15+20+30+20+20+30+20+20 = 175
두 자리 길이 몇 개를 더하는 것은(1000 이하) 평범한 2학년 덧셈입니다.
2.NBT.B.7Make A Systematic List4STEP 4
더 짧은 경로가 없는지 확인하기
어떻게 바꿔도 비싼 길이 끼어들어 더 짧은 길은 없습니다.
175 m가 최소
다른 모든 선택이 더 긴 길을 끌어들인다면, 가장 작은 합을 찾은 것입니다.
2.NBT.B.7Guess And Check다른 어떤 순환로도 더 긴 도로를 끌어들일 수밖에 없으므로, 만들어 놓은 순환로가 정말로 가장 짧다.
왜?
모든 대안이 고른 도로를 더 긴 도로로 바꾸는 것이라면 대안의 합계는 저마다 더 크고, 그 비교들은 하나의 순위로 이어진다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
겨루던 순환로가 저마다 분명한 이유로 지워지고 나면, 남아 있는 하나가 답이다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
정답
175 m (H-E-G-A-D-B-C-F-H)
이 경로는 길 여덟 개를 씁니다. 평균 길이가 약 22 m이고 8 × 22 ≈ 176으로, 구한 합 175 m와 거의 같습니다. 또 가장 비싼 세 길(40, 45, 50 m)을 모두 피했는데, 이것이 바로 가장 짧은 경로가 해야 할 일입니다.
핵심 정리
짧은 길부터 고르면 한 바퀴 경로가 저절로 만들어져요 — 그다음은 2학년 덧셈으로 175 m를 구하면 끝!
- 짧은 길과 긴 길을 먼저 살피기
- 가장 비싼 길을 피하는 경로 만들기
- 고른 길들을 더하기
- 더 짧은 경로가 없는지 확인하기
이어서 풀어볼까요