문제
수 카드로 빠짐없이 수 만들기
수 카드 2, 3, 0, 2 중에서 3장을 골라 고른 카드를 한 번씩 써서 세 자리 수를 만듭니다. 백의 자리에는 0이 올 수 없습니다. 만들 수 있는 서로 다른 세 자리 수를 빠짐없이 구합니다.
사고력 · 초2-1 수 만들기
내 답
조심 카드를 늘어놓는 가짓수를 그대로 세면 답이 부풀어 오릅니다. 2가 두 장이라 겹치는 수는 한 번만 셉니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 작은 유한 집합에서 '모두 찾기'를 하는 문제이므로 빠짐없이 나열하기가 가장 알맞다. 먼저 어떤 3장을 쓸지(세 가지 묶음) 정해 문제를 줄인 뒤, 각 묶음에서 백의 자리를 고정하며 적으면 한 번에 어려운 나열이 몇 개의 쉬운 나열로 쪼개진다.
1STEP 1
어떤 3장을 남길지 정하기
한 장을 빼면 숫자 묶음은 2·3·0, 2·2·0, 2·2·3 세 가지뿐입니다.
'어떤 세 숫자인가'로 먼저 나누면 묶음끼리 섞이지 않고 빠뜨리지도 않는다. 세 자리 수가 세 개의 숫자로 이루어진다는 자릿값 생각만 쓰면 된다.
2.NBT.A.1Solve An Easier Related Problem어떤 카드 세 장을 남기는가로 작업을 나누면 가능한 모든 수가 서로 겹치지 않고 빠뜨리는 것도 없는 무리로 갈린다.
왜?
한 수는 정확히 한 벌의 카드 세 장으로 만들어지므로 정확히 한 무리에만 속하며, 그래서 마지막에 무리별 개수를 그냥 더하면 된다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
같은 카드 두 장이 든 무리 안에서는 그 둘을 바꿔 놓아도 똑같은 수가 되므로, 두 가지 배열이 한 수를 가리킬 수 있다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
숫자 2, 3, 0으로 만드는 수 나열
2·3·0은 0이 앞에 못 오니 203, 230, 302, 320입니다.
{2,3,0} → 203, 230, 302, 320
백의 자리를 고정하고 남은 두 숫자의 순서만 바꾸면 빠짐없이 모든 배열을 적을 수 있다.
2.NBT.A.3Make A Systematic List3STEP 3
숫자 2, 2, 0으로 만드는 수 나열
2·2·0은 백의 자리가 2뿐이라 202, 220입니다.
{2,2,0} → 202, 220
같은 2 카드 두 장은 자리를 바꿔도 같은 수가 되므로 이 묶음에서는 서로 다른 두 수만 나온다.
2.NBT.A.3Make A Systematic List4STEP 4
숫자 2, 2, 3으로 만드는 수 나열
2·2·3은 2가 겹쳐 223, 232, 322 셋뿐입니다.
{2,2,3} → 223, 232, 322
다시 백의 자리를 고정해 나열하고, 같은 2가 겹쳐 생기는 같은 수는 하나로 합친다.
2.NBT.A.3Make A Systematic List5STEP 5
모아서 중복 빼기
모으면 겹침 없이 아홉 개이고 가장 작은 수는 202입니다.
202, 203, 220, 223, 230, 232, 302, 320, 322
작은 수부터 큰 수로 정리하면 빠진 수나 겹친 수가 없는지 한눈에 확인된다.
2.NBT.A.4Make A Systematic List정답
202, 203, 220, 223, 230, 232, 302, 320, 322 개 (9가지)
모든 수가 맨 앞이 0이 아닌 세 자리 수이고, 카드가 허용하는 숫자(2는 최대 두 개, 3 하나, 0 하나)만 쓴다. 가장 큰 수 322, 가장 작은 수 202로 카드에 맞다. 서로 다른 9개는 타당하다. 숫자가 모두 다르면 묶음마다 몇 개씩 나오고, 2가 겹쳐 개수가 조금 줄기 때문이다.
핵심 정리
어떤 카드를 남길지 먼저 나누고, 백의 자리부터 정해 적으면 하나도 빠뜨리지 않고 모두 찾을 수 있어요 — 2학년 자릿값 생각이면 충분해요!
- 어떤 3장을 남길지 정하기
- 숫자 2, 3, 0으로 만드는 수 나열
- 숫자 2, 2, 0으로 만드는 수 나열
- 숫자 2, 2, 3으로 만드는 수 나열
- 모아서 중복 빼기