겉넓이의 최대·최소

한 모서리가 1 cm인 쌓기나무 12개가 있습니다. 12개를 모두 써서 빈틈도 튀어나온 곳도 없는 직육면체를 만듭니다. 만들 수 있는 직육면체는 여러 가지입니다. 겉넓이가 가장 작을 때의 값을 구합니다.

내 답

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기 — '가장 작은'을 묻는 문제에서는 내 답보다 작은 경우가 하나도 없다는 것까지 보여야 합니다. 그러려면 만들 수 있는 직육면체를 하나도 빠뜨리지 않고 늘어놓아 견주는 수밖에 없습니다. 다행히 경우가 아주 적습니다. 세 모서리는 곱이 12인 자연수이므로, 작은 모서리부터 차례로 놓아 12를 세 수의 곱으로 쓰는 방법을 적으면 모든 직육면체가 딱 한 번씩 나옵니다. 실제 쌓기나무로 네 가지를 만들어 보거나 그림으로 그려 보면 규칙이 눈에 들어옵니다. 정육면체에 가까울수록 껍질이 팽팽하게 줄어든다는 것입니다. 마지막에는 보는 눈을 바꾸어 드러난 면 대신 숨은 면을 셉니다. 쌓기나무 12개의 면은 언제나 모두 72장이고 맞붙은 자리 한 곳마다 두 장이 숨으므로, 맞붙은 자리가 가장 많은 상자가 겉넓이가 가장 작습니다. 이것이 목록과 따로 노는 확인이 되어 줍니다.

1STEP 1

'쌓기나무 12개로 만든 직육면체'를 '곱이 12인 세 수'로 바꾸기

직육면체는 곱이 12인 세 수로 정해집니다.

a × b × c = 12

2STEP 2

곱이 12인 세 수를 겹치지도 빠지지도 않게 모두 적기

그런 짝은 네 가지뿐입니다.

12 = 1 × 1 × 12 = 1 × 2 × 6 = 1 × 3 × 4 = 2 × 2 × 3

3STEP 3

목록에 있는 네 상자의 겉넓이 구하기

네 상자의 겉넓이는 50, 40, 38, 32입니다.

(겉넓이) = 2(ab + bc + ac); 1×1×12: 2(1+12+12) = 50; 1×2×6: 2(2+12+6) = 40; 1×3×4: 2(3+12+4) = 38; 2×2×3: 2(4+6+6) = 32

4STEP 4

가장 작은 것을 고르고, 왜 그것이 가장 상자다운 상자인지 보기

가장 작은 것은 정육면체에 가까운 32입니다.

50 ＞ 40 ＞ 38 ＞ 32

5STEP 5

드러난 면 대신 숨은 면을 세어 다르게 확인하기

맞붙은 자리를 세어도 32입니다.

(겉넓이) = 6 × 12 - 2 × (맞붙은 자리의 수); 2×2×3: 72 - 2 × 20 = 32; 1×1×12: 72 - 2 × 11 = 50

정답

32 cm²

2 × 2 × 3 = 12

단위가 알맞습니다. 모서리의 길이 두 개를 곱해 얻은 값을 더했으니 답은 cm²인 넓이입니다. 크기도 자연스럽습니다. 쌓기나무 12개를 서로 닿지 않게 떼어 놓으면 12 × 6 = 72 (cm²)이므로 쌓아 만든 어떤 상자든 72보다 한참 작아야 하는데 32가 그렇습니다. 또 부피가 같은 정육면체보다는 커야 하는데, 쌓기나무 8개짜리인 2 × 2 × 2 정육면체의 겉넓이가 이미 24 cm²이므로, 그보다 조금 크고 조금 덜 정육면체다운 이 입체의 32 cm²은 딱 알맞은 자리에 있습니다. 마지막으로 32는 50, 40, 38, 32 네 값 가운데 가장 작은 값이고, 이 네 가지가 곱이 12인 세 자연수의 전부이므로 빠진 경우가 없습니다.

핵심 정리

가장 상자다운 모양인 가로 2, 세로 2, 높이 3으로 쌓으면 맞붙은 자리가 가장 많아 면이 많이 숨고, 껍질이 32 cm²까지 줄어들어요.

'쌓기나무 12개로 만든 직육면체'를 '곱이 12인 세 수'로 바꾸기
곱이 12인 세 수를 겹치지도 빠지지도 않게 모두 적기
목록에 있는 네 상자의 겉넓이 구하기
가장 작은 것을 고르고, 왜 그것이 가장 상자다운 상자인지 보기
드러난 면 대신 숨은 면을 세어 다르게 확인하기

이어서 풀어볼까요

겉넓이의 최대·최소