문제
겉넓이의 최대·최소
쌓기나무 4개로 만든 모양이 여섯 가지 있습니다. 가: 한 줄 3개의 끝 위에 1개, 나: ㄱ자 3개의 꺾인 자리 위에 1개, 다: ㄱ자 3개의 끝 위에 1개, 라: 한 층짜리 ㄴ자, 마: 한 층짜리 2×2 정사각형, 바: 한 층짜리 계단 모양. 다섯은 겉넓이가 같으니 다른 하나를 찾습니다.
사고력 · 초6-1 입체도형의 겉넓이와 부피
내 답
조심 맞붙은 자리가 넓이를 1만큼 줄일 것 같지만 양쪽 면이 함께 사라져 2만큼 줄어듭니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 비스듬히 그린 그림 여섯 개에서 드러난 면을 하나하나 눈으로 세면 거의 반드시 틀립니다. 뒤쪽과 밑바닥이 그림마다 가려져 있기 때문입니다. 그래서 쌓기나무 2개짜리라는 훨씬 쉬운 문제부터 풀어 규칙을 찾습니다. 맞붙은 자리 한 곳마다 정사각형이 두 장씩(양쪽에서 한 장씩) 숨는다는 규칙입니다. 이 규칙을 손에 넣으면 문제는 '맞붙은 자리가 몇 군데인가'만 세면 되는 안전한 문제로 바뀝니다. 맞붙은 자리는 그림에 전부 드러나 있으니까요. 그다음에는 여섯 개의 수를 빠짐없이 늘어놓아 비교하면 끝납니다.
1STEP 1
쌓기나무를 다 떼어 놓은 상태에서 출발하기
떼어 놓으면 겉넓이는 24입니다.
4 × 6 = 24 (cm²)
면 한 장이 1 cm²이니 넓이를 구하는 데 공식이 필요 없습니다. 칸을 세는 것이 곧 넓이를 재는 것이어서 '겉넓이'와 '드러난 면의 개수'가 같은 수가 됩니다.
3.MD.C.6Solve An Easier Related Problem2STEP 2
맞붙은 자리 한 곳이 얼마를 감추는지 알아보기
맞붙은 자리 하나는 2만큼 감춥니다.
2 × 6 - 2 = 10 (cm²)
입체의 겉면이란 공기와 맞닿은 면을 모두 모은 것입니다. 붙이면 양쪽에서 한 장씩 가려지므로 언제나 정사각형 두 장, 곧 2 cm²만 줄어듭니다. 그래서 이 규칙은 쓰기가 아주 쉽습니다.
6.G.A.4Solve An Easier Related Problem쌓기나무 두 개를 붙일 때마다 정사각형 면 두 개가 가려지므로, 한 번 붙일 때마다 겉넓이가 정확히 두 칸씩 줄어든다.
왜?
붙은 면은 두 나무에 동시에 속해 각각에서 한 번씩 세어지므로, 한 번의 붙임이 각 나무에서 면을 하나씩 없앤다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
겉넓이는 낱낱의 나무가 가진 면을 모두 합친 것에서 붙임이 가린 것을 덜어낸 것이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
쌓기나무 4개짜리 모양에 두루 통하는 규칙 세우기
그래서 겉넓이는 24에서 맞붙은 자리의 2배를 뺀 값입니다.
(겉넓이) = 24 - 2 × (맞붙은 자리의 수)
입체의 넓이 문제가 단순한 세기 문제로 바뀝니다. 게다가 이 식은 눈여겨볼 사실도 알려 줍니다. 맞붙은 자리가 많을수록 겉넓이는 작아진다는 것입니다.
7.G.B.6Solve An Easier Related Problem4STEP 4
여섯 모양의 맞붙은 자리 세기
다섯 모양은 맞붙은 자리가 3곳입니다.
가: 3, 나: 3, 다: 3, 라: 3, 마: 4, 바: 3
여섯 중 다섯은 한 줄로 이어지거나 갈라진 모양이어서, 쌓기나무를 따라 걸어가도 출발한 자리로 되돌아오지 못합니다. 이런 모양은 4개짜리면 맞붙은 자리가 늘 3군데입니다. 오직 마만 고리처럼 한 바퀴 닫혀서 네 번째 자리가 생깁니다.
7.G.B.6Make A Systematic List5STEP 5
맞붙은 자리를 겉넓이로 바꾸기
마만 맞붙은 자리가 4곳입니다.
24 - 2 × 3 = 18, 24 - 2 × 4 = 16
맞붙은 자리만 세고 나면 모양마다 뺄셈 한 번이면 끝입니다. 여섯 개의 답을 한 줄로 늘어놓으면 다른 하나가 저절로 눈에 띕니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
마가 왜 혼자 다른지 말하기
그래서 마의 겉넓이만 2만큼 작습니다.
18 - 16 = 2 (cm²)
쌓기나무를 한 덩어리에 가깝게 모아 놓을수록 더 많은 면이 안쪽으로 숨습니다. 여섯 중에서 가장 옹골지게 모인 모양이 바로 가로 2칸, 세로 2칸인 마입니다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships정답
마
24 − 2 × 4 = 16
마는 가로 2 cm, 세로 2 cm, 높이 1 cm인 직육면체이므로 맞붙은 자리를 세지 않고도 확인할 수 있습니다. 2 × (2 × 2) + 2 × (2 × 1) + 2 × (2 × 1) = 8 + 4 + 4 = 16 (cm²)으로 앞의 값과 같습니다. 가는 1 × 1 × 3인 기둥에 쌓기나무 하나를 더 올린 모양인데, 기둥만 따로 재면 2 × (1 × 1) + 4 × (1 × 3) = 14 (cm²)이고, 끝 위에 하나를 올리면 정사각형 한 장이 덮이고 다섯 장이 새로 드러나므로 14 - 1 + 5 = 18 (cm²)이 되어 이것도 맞습니다. 크기를 어림해 보아도 자연스럽습니다. 떼어 놓은 4개가 24 cm²이니 어떤 모양도 그보다 클 수 없고, 여기서 가장 옹골진 마가 16 cm²이니 모든 답은 16과 24 사이에 있어야 하는데 16과 18이 모두 그 안에 들어갑니다. 면 하나가 한 변 1 cm인 정사각형이므로 단위가 cm²인 것도 넓이에 알맞습니다.
핵심 정리
쌓기나무가 맞닿은 자리마다 2 cm²씩 숨으니, 맞닿은 자리가 가장 많은 가로 2칸 세로 2칸 모양의 겉넓이가 가장 작아요.
- 쌓기나무를 다 떼어 놓은 상태에서 출발하기
- 맞붙은 자리 한 곳이 얼마를 감추는지 알아보기
- 쌓기나무 4개짜리 모양에 두루 통하는 규칙 세우기
- 여섯 모양의 맞붙은 자리 세기
- 맞붙은 자리를 겉넓이로 바꾸기
- 마가 왜 혼자 다른지 말하기
이어서 풀어볼까요