문제
쌍대다면체
입체도형의 각 면 한가운데에 점을 하나씩 찍습니다. 모서리를 함께 쓰는 두 면의 점끼리 선분으로 잇습니다. 그 점과 선분이 새 입체를 이룹니다. 정사면체와 정육면체에서 어떤 입체가 나오는지 구합니다.
사고력 · 초6-1 쌍대다면체와 준정다면체
내 답
조심 새 입체가 작아진 같은 도형일 것 같지만 면과 꼭짓점이 뒤바뀝니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 바깥 도형을 뚫고 안쪽 도형을 들여다보려 하면 오히려 헷갈립니다. 그래서 모양을 통째로 상상하는 대신, 원래 도형의 개수가 새 도형의 개수로 어떻게 바뀌는지 규칙을 찾고 그 수로 답을 읽어 내려 합니다. 점은 면마다 하나씩이니 면이 꼭짓점으로 바뀝니다. 선분은 모서리를 하나씩 가로지르니 모서리 수는 조금도 달라지지 않습니다. 그리고 새 도형의 한 면은 원래 도형의 한 꼭짓점을 감싸므로 꼭짓점이 면으로 바뀝니다. 한 문장으로 줄이면 면과 꼭짓점이 자리를 바꾸고 모서리는 그대로입니다. 점 네 개가 한눈에 다 보이는 정사면체로 먼저 규칙이 맞는지 확인한 다음, 속이 보이지 않는 정육면체에 그 규칙을 적용하겠습니다.
1STEP 1
새 꼭짓점은 어디에서 생기는가
새 꼭짓점은 옛 면에서 하나씩 나옵니다.
(새 도형의 꼭짓점 수) = (원래 도형의 면의 수)
면 하나에 점 하나씩 짝을 지어 보면 어느 쪽에도 남는 것이 없습니다. 두 개수가 같다는 말은 바로 이런 뜻입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
새 모서리는 어디에서 생기는가
새 모서리는 옛 모서리와 하나씩 짝을 이룹니다.
(새 도형의 모서리 수) = (원래 도형의 모서리 수)
선분 하나가 모서리 하나를 작은 다리처럼 타고 넘어갑니다. 선분과 모서리를 짝지으면 어느 쪽에도 남는 것이 없습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
새 면은 어디에서 생기는가
새 면은 옛 꼭짓점에서 하나씩 나옵니다.
(새 도형의 면의 수) = (원래 도형의 꼭짓점 수), (새 면의 변의 수) = (한 꼭짓점에 모인 면의 수)
입체도형의 꼭짓점을 싹둑 자르면 작고 평평한 다각형이 드러납니다. 그 꼭짓점을 둘러싼 점들의 고리는 같은 다각형을 조금 안쪽에 그린 것입니다.
4.G.A.1Visualize Spatial Relationships4STEP 4
규칙으로 정리하기
그래서 면과 꼭짓점이 자리를 바꿉니다.
f ⇔ v, e → e
두 수만 맞바꾸고 나머지 하나는 건드리지 않는 규칙이라 기억하기도 쉽고 확인하기도 쉽습니다. 오일러 공식 v + f - e = 2도 그대로 성립하는데, v와 f를 바꿔도 v + f는 달라지지 않기 때문입니다.
6.EE.B.6Make A Systematic List규칙은 새 입체가 면의 수와 꼭짓점의 수를 맞바꾸고 모서리의 수는 그대로 둔다는 것이다.
왜?
면 하나에 점 하나를 찍고 새 선분 하나가 옛 모서리 하나를 가로지르므로, 각 개수가 하나씩 그대로 옮겨진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
꼭짓점과 면의 수를 맞바꾸어도 꼭짓점 빼기 모서리 더하기 면은 그대로이므로, 새 입체도 모든 입체가 따르는 규칙을 따른다.
🧱다면체의 오일러 공식평평한 면으로 된 어떤 입체든 꼭짓점 빼기 모서리 더하기 면은 언제나 2가 되므로, 보이지 않는 개수도 되찾을 수 있다.
5STEP 5
(1) 정사면체
정사면체에서는 다시 정사면체가 나옵니다.
f = 4, e = 6, v = 4 ⟶ v' = 4, e' = 6, f' = 4
네 점이 한눈에 다 보이니 눈으로 확인할 수 있는 경우입니다. 여기서 익숙한 답이 되돌아 나온다는 사실이, 속이 보이지 않는 정육면체에서도 이 규칙을 믿을 수 있게 해 줍니다.
5.G.B.4Solve An Easier Related Problem6STEP 6
(2) 정육면체
정육면체에서는 정팔면체가 나옵니다.
f = 6, e = 12, v = 8 ⟶ v' = 6, e' = 12, f' = 8
개수만으로도 답이 정해집니다. 정다면체 중에 면 8개, 모서리 12개, 꼭짓점 6개인 것은 하나뿐이기 때문입니다. 위·아래·옆 네 곳이라는 여섯 점의 그림은 개수를 세지 않고도 같은 답을 알려 줍니다.
5.G.B.4Visualize Spatial Relationships정답
정사면체, 정팔면체
6 → 8, 8 → 6
두 새 도형 모두 오일러 공식을 만족합니다. 정사면체는 4 + 4 - 6 = 2, 정팔면체는 6 + 8 - 12 = 2이므로 개수가 진짜 다면체의 것입니다. 규칙 자체도 앞뒤가 맞습니다. 두 번 적용하면 처음 자리로 돌아와야 하는데 실제로 그렇습니다. 정육면체 (6, 12, 8)은 정팔면체 (8, 12, 6)이 되고, 정팔면체는 다시 (6, 12, 8)인 정육면체가 됩니다. 정사면체는 자기 자신이 짝인데, 면의 수와 꼭짓점 수가 처음부터 같은 도형이니 당연한 결과입니다. 크기도 말이 됩니다. 점이 모두 면 안쪽에 있으므로 새 도형은 늘 원래 도형 속에 들어가고, 모서리는 하나씩 짝지어지므로 원래보다 모서리가 많아지는 일도 없습니다.
핵심 정리
면 한가운데에 찍은 점들이 만드는 새 입체도형은 면과 꼭짓점이 자리를 바꾸고 모서리 수는 그대로예요. 그래서 정육면체는 정팔면체가 되고, 정사면체는 다시 정사면체가 됩니다.
- 새 꼭짓점은 어디에서 생기는가
- 새 모서리는 어디에서 생기는가
- 새 면은 어디에서 생기는가
- 규칙으로 정리하기
- (1) 정사면체
- (2) 정육면체
이어서 풀어볼까요