문제
정다면체와 오일러의 공식
표에 정사면체, 정육면체, 정팔면체 세 칸이 있습니다. 줄은 겨냥도, 면의 모양, 면의 수, 모서리의 수, 꼭짓점의 수입니다. 미리 채워진 칸은 몇 개뿐입니다. 표의 빈칸을 모두 채웁니다.
사고력 · 초6-1 정다면체
내 답
조심 꼭짓점도 늘 3으로 나누면 될 것 같지만 정팔면체는 넷씩 모입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 그림만 들여다보며 모서리를 세면 뒤쪽에 가려진 것을 놓치기 십상입니다. 그래서 모서리를 직접 세지 않고, 확실히 아는 것부터 셉니다. 바로 면마다의 변의 개수입니다. 그런 다음 함께 쓰는 만큼을 덜어 내면 됩니다. 모서리 하나는 면 2개가 나눠 가지므로 2로 나누고, 꼭짓점 하나는 거기 모인 면의 개수만큼 나눠 가지므로 그 수로 나눕니다. 이렇게 하면 표의 한 칸씩이 작은 곱셈 두 번과 나눗셈 한 번으로 줄고, 같은 일을 세 번 되풀이하면 끝납니다. 마지막에는 오일러의 공식 (꼭짓점의 수) + (면의 수) - (모서리의 수) = 2 로 세 칸을 한꺼번에 검산합니다. 어느 칸에서든 2가 나와야 하니까요.
1STEP 1
이름과 그림에서 쉬운 칸 두 개 채우기
이름에서 면의 수 4, 6, 8을 읽습니다.
정사면체 4, 정육면체 6, 정팔면체 8
이름 속에 면의 수가 이미 들어 있습니다. 정사면체는 4, 정육면체는 6, 정팔면체는 8이지요. 이 줄은 셀 것도 없이 읽으면 됩니다.
2.G.A.1Visualize Spatial Relationships2STEP 2
빠진 겨냥도 두 개 그리기
빠진 겨냥도 둘을 그려 넣습니다.
겨냥도는 정해 놓은 점들을 선분으로 이은 그림일 뿐이고, 실선이냐 점선이냐는 그 선을 입체가 가리느냐 아니냐의 문제입니다. 이미 그려져 있는 정육면체가 쓰고 있는 약속 그대로입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
면의 변을 세고 2로 나누어 모서리 세기
변을 세고 2로 나누면 모서리는 6, 12, 12입니다.
정사면체 4 × 3 ÷ 2 = 6 정육면체 6 × 4 ÷ 2 = 12 정팔면체 8 × 3 ÷ 2 = 12
면마다 변을 세는 일은 입체의 뒤쪽을 보지 않고도 할 수 있습니다. 2로 나누는 까닭도 '모서리를 양쪽 면에서 한 번씩 셌으니까'로 간단하지요.
3.OA.C.7Identify Subproblems모든 면의 변을 세고 반으로 나누면 모서리의 수가 나오며, 입체의 뒤쪽을 보지 않아도 된다.
왜?
모든 모서리에서 두 면이 만나므로 각 모서리가 두 면에서 한 번씩 세어지고, 훑으면 정확히 두 배가 나온다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
세 개수는 꼭짓점 빼기 모서리 더하기 면이 언제나 2라는 사실로 묶여 있으므로, 어느 하나든 나머지로 검산할 수 있다.
🧱다면체의 오일러 공식평평한 면으로 된 어떤 입체든 꼭짓점 빼기 모서리 더하기 면은 언제나 2가 되므로, 보이지 않는 개수도 되찾을 수 있다.
4STEP 4
같은 방법으로 꼭짓점 세기
같은 방법으로 꼭짓점은 4, 8, 6입니다.
정사면체 12 ÷ 3 = 4 정육면체 24 ÷ 3 = 8 정팔면체 24 ÷ 4 = 6
모서리를 셀 때와 똑같은 생각이고 나누는 수만 다릅니다. 모서리를 2로 나눈 것은 모서리에 면이 2개 붙어서이고, 꼭짓점을 3이나 4로 나누는 것은 꼭짓점에 면이 3개나 4개 모여서입니다.
3.OA.C.7Identify Subproblems5STEP 5
오일러의 공식으로 세 칸 모두 검산하기
세 칸 모두 꼭짓점 더하기 면 빼기 모서리가 2입니다.
4 + 4 - 6 = 2 8 + 6 - 12 = 2 6 + 8 - 12 = 2
작은 식 하나가 어느 입체에서나 2로 떨어져야 하니, 세 줄 어디에서 실수했더라도 한꺼번에 걸립니다. 게다가 모든 다면체에서 성립하므로 눈으로 셀 수 없는 수를 구하는 데도 쓸 수 있습니다.
6.EE.B.6Look For A Pattern6STEP 6
완성된 표 옮겨 적기
완성된 표를 옮겨 적으면 맞습니다.
& 정사면체 & 정육면체 & 정팔면체 ; 면 & 4 & 6 & 8 ; 모서리 & 6 & 12 & 12 ; 꼭짓점 & 4 & 8 & 6
표로 늘어놓으면 규칙이 눈에 확 들어옵니다. 정사면체는 꼭짓점 수와 면의 수가 같고, 정육면체와 정팔면체는 면의 수와 꼭짓점 수가 서로 뒤바뀐 사이입니다.
4.G.A.1Make A Systematic List정답
4, 6, 4 / 6, 12, 8 / 8, 12, 6
8 × 3 ÷ 2 = 12
구한 수가 모두 자연수인데, 그래야만 합니다. 12 ÷ 2, 24 ÷ 2, 12 ÷ 3, 24 ÷ 3, 24 ÷ 4 가 모두 딱 나누어떨어지고, 어느 하나라도 나머지가 생겼다면 면의 수나 한 꼭짓점에 모이는 면의 수를 잘못 잡은 것입니다. 크기도 그럴듯합니다. 정팔면체는 정육면체보다 면이 많은데 꼭짓점은 오히려 적습니다. 그림과도 맞는 이야기인데, 정팔면체의 꼭짓점은 삼각형 넷이 모인 뾰족한 끝이고 정육면체의 꼭짓점 8개는 뭉툭하기 때문입니다. 오일러의 공식도 세 칸 모두 2로 떨어져, 면과 모서리와 꼭짓점을 한꺼번에 묶어 확인해 줍니다. 마지막으로 정사면체는 겨냥도에서 직접 세어 보아도 삼각형 4개, 모서리 6개, 꼭짓점 4개가 한눈에 들어옵니다.
핵심 정리
면마다 변을 세어 모두 더한 다음, 몇 개가 나눠 쓰는지로 나누세요. 모서리는 2, 꼭짓점은 3이나 4입니다. 그러고 나서 (꼭짓점) + (면) - (모서리) = 2 가 맞는지 보면 제대로 셌는지 알 수 있습니다.
- 이름과 그림에서 쉬운 칸 두 개 채우기
- 빠진 겨냥도 두 개 그리기
- 면의 변을 세고 2로 나누어 모서리 세기
- 같은 방법으로 꼭짓점 세기
- 오일러의 공식으로 세 칸 모두 검산하기
- 완성된 표 옮겨 적기
이어서 풀어볼까요