오일러의 공식

표에 미리 적힌 두 수는 세는 방법이 맞는지 공짜로 검사해 주는 장치입니다. 밑면에 꼭짓점을 더하는 방식이 4와 4를 내놓지 못했다면 나머지 칸도 모두 틀렸을 것입니다.

어떤 각뿔이든 면의 수와 꼭짓점의 수가 같게 나옵니다. 밑면의 변마다 옆면이 하나씩 생기고 밑면의 꼭짓점마다 꼭짓점이 하나씩 생기는데, 다각형은 변의 수와 꼭짓점의 수가 같기 때문입니다.

삼각형 하나를 위로 곧게 밀어 올린 자국이 각기둥이라고 생각해 보세요. 꼭짓점마다 세로 모서리가 하나씩 그어지고, 변마다 직사각형 면이 하나씩 쓸려 나오며, 맨 위에는 똑같은 삼각형이 한 장 더 남습니다.

상자는 누구나 만져 본 적이 있으니 이 칸은 손으로 확인할 수 있습니다. 과자 상자를 하나 들고 뾰족한 모서리 끝, 평평한 면, 접힌 모서리를 차례로 세어 보면 됩니다.

세 줄의 수는 칸마다 크게 달라집니다. v는 4, 5, 6, 8로, e는 6, 8, 9, 12로 움직입니다. 그런데도 네 번 연속 2가 나온다면 우연이라고 하기에는 너무 깔끔합니다.

예 네 개에서 찾아낸 규칙은 아직 짐작일 뿐입니다. 글자로 적어 두어야 검사할 수 있게 됩니다. 이제 새로운 입체는 v + f - e = 2를 지키거나 지키지 않거나 둘 중 하나입니다.

오각뿔을 눈으로 보지 않아도 셀 수 있습니다. 삼각형과 사각형에서 통했던 '밑면 다음 꼭짓점' 방법이 5에서도 그대로 통하는데, 그 방법 어디에도 밑면의 변이 몇 개인지에 기대는 곳이 없기 때문입니다.

규칙을 찾을 때 쓰지 않았던 새 입체 둘이 모두 규칙을 지켰습니다. 같은 모양을 네 개 더 확인하는 것보다 훨씬 힘 있는 증거입니다.

밑면의 변의 수를 글자로 놓으면 네 번의 확인이 한 줄의 계산으로 줄어듭니다. 그리고 n이 지워지는 것을 눈으로 보면, 남는 것이 왜 언제나 그냥 2인지가 드러납니다.