문제
가장 짧은 끈의 길이
가로 6 cm, 세로 4 cm, 높이 10 cm인 상자가 있습니다. 끈을 서로 다른 두 방법으로 한 바퀴 둘러 묶습니다. 두 방법 모두 정해진 모서리 세 개를 지납니다. 두 끈의 가장 짧은 길이를 각각 구합니다.
사고력 · 초6-1 전개도의 활용
내 답
조심 면마다 대각선을 재어 더하고 싶지만 펼쳐 곧게 그으면 훨씬 간단합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 상자 위에서 끈은 모서리를 넘을 때마다 꺾입니다. 꺾인 선은 자로 잴 수가 없습니다. 그래서 각 방법마다 끈이 지나는 면이 어느 것들인지 먼저 정하고, 그 면들만 종이띠처럼 벗겨 평평하게 펼칩니다. 펼친 그림에서는 끈이 두 점을 잇는 선이 되는데, 두 점을 잇는 가장 짧은 길은 곧은 선이므로 길이를 그림에서 그대로 읽어 낼 수 있습니다. 종이띠를 실제 상자에 감았다가 벗겨 보면 펼친 그림이 맞는지 손으로 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
모서리 길이를 모두 적어 두기
모서리 길이 6, 4, 10을 적어 둡니다.
가로 = 6 cm, 세로 = 4 cm, 높이 = 10 cm
직육면체는 수 세 개면 다 설명됩니다. 평행한 모서리끼리 길이가 같으니, 그림에 적힌 6, 4, 10 하나씩이 곧 모서리 열두 개의 길이 전부입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems2STEP 2
방법 1이 지나는 면 찾기
첫째 방법이 지나는 네 면을 찾습니다.
지나는 모서리를 말하는 것은 곧 지나는 면을 말하는 것과 같습니다. 이웃한 두 모서리 사이에는 언제나 면이 딱 하나 끼어 있기 때문입니다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships3STEP 3
방법 1의 띠를 평평하게 펼치기
그 면들을 펼치면 띠의 길이가 28입니다.
4 + 10 + 4 + 10 = 28
펼친다고 해서 종이가 늘어나거나 줄어들지는 않습니다. 상자 위의 길이가 펼친 그림에서도 그대로이기 때문에, 펼친 그림으로 끈의 길이를 재도 되는 것입니다.
6.G.A.4Draw A Diagram면으로 이루어진 띠를 평평하게 펼치면 실이 늘어나지 않은 채 놓이므로, 길이가 그대로다.
왜?
펼치기는 각 면을 접힌 선을 따라 넘길 뿐 구부리거나 늘이지 않으므로, 표면의 모든 길이가 그대로 옮겨진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
실은 각 면 위의 조각을 이어 붙인 것이므로, 면들이 평평하게 놓이면 조각들이 하나의 곧은 길로 늘어선다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
방법 1의 끈을 곧게 긋기
곧게 그으면 끈은 28 cm입니다.
28 cm
평평한 종이 위에서 두 점을 잇는 가장 짧은 길은 곧은 선이라는 것, 이 한 가지 사실을 쓰려고 띠를 펼친 것입니다. 팽팽한 끈이 자로 그은 선이 되어 버렸습니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram5STEP 5
방법 2의 면을 찾아 펼치기
둘째 방법의 띠는 20입니다.
6 + 4 + 6 + 4 = 20
벗겨서 펼치는 방법은 어느 방향으로 감든 똑같이 통합니다. 달라지는 것은 어떤 길이들이 줄줄이 이어 붙느냐뿐입니다.
6.G.A.4Draw A Diagram6STEP 6
방법 2의 길이 읽어 내기
그래서 둘째 끈은 20 cm입니다.
20 cm
그림을 평평하게 펴 놓고 나면 답은 띠의 길이 그 자체입니다. 따로 어렵게 잴 것이 하나도 남지 않습니다.
3.MD.D.8Draw A Diagram7STEP 7
두 답을 다른 방법으로 확인하기
직사각형 둘레로 세어도 같습니다.
(4 + 10) × 2 = 28, (6 + 4) × 2 = 20
상자를 팽팽하게 감은 끈은 각 면 위에서는 납작하게 붙어 있다가 모서리에서만 꺾입니다. 그러니 그 길이는 끈이 감고 있는 직사각형의 둘레이고, 익숙한 둘레 구하기로도 같은 수가 나옵니다.
4.MD.A.3Identify Subproblems정답
28, 20 cm
2 × (4 + 10) = 28, 2 × (6 + 4) = 20
두 답 모두 cm 단위의 길이이고, 상자에서 가장 긴 모서리인 10 cm보다 깁니다. 한 바퀴를 도는 끈이라면 당연히 그래야 합니다. 방법 1이 방법 2보다 끈이 더 드는 것도 그림과 맞습니다. 방법 1의 고리는 높이 10 cm를 두 번 오르내리지만, 방법 2의 고리는 가로 6 cm, 세로 4 cm인 밑면 둘레만 돌기 때문입니다. 크기를 어림해 보아도, 모서리를 따라 헐렁하게 한 바퀴 돌면 4 + 10 + 4 + 10 = 28 (cm), 6 + 4 + 6 + 4 = 20 (cm)가 나옵니다. 가장 팽팽한 끈이 모서리를 따라간 길이와 똑같고 그보다 짧아지지는 않는데, 펼친 그림에서 끈이 이미 곧은 선이라 더는 당길 데가 없으니 당연한 일입니다.
핵심 정리
끈이 닿는 면들을 펼쳐 놓으면, 꺾여 있던 끈이 자로 그냥 잴 수 있는 곧은 선이 됩니다.
- 모서리 길이를 모두 적어 두기
- 방법 1이 지나는 면 찾기
- 방법 1의 띠를 평평하게 펼치기
- 방법 1의 끈을 곧게 긋기
- 방법 2의 면을 찾아 펼치기
- 방법 2의 길이 읽어 내기
- 두 답을 다른 방법으로 확인하기
이어서 풀어볼까요