문제
비둘기집의 원리 활용
숫자 카드 1, 3, 6을 모두 늘어놓아 세 자리 수를 만듭니다. 학생마다 하나씩 만듭니다. (1)은 학생 20명일 때입니다. 같은 수를 만든 학생 수와, 6명이 되려면 몇 명이어야 하는지 구합니다.
사고력 · 초5-2 비둘기집의 원리
내 답
조심 가장 많이 몰린 경우를 세고 싶지만 약속할 수 있는 수는 가장 고르게 나눴을 때 나옵니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 모든 것이 '카드로 만들 수 있는 수가 몇 개인가'에 달려 있는데, 카드가 3장뿐이니 작은 수부터 차례로 빠짐없이 나열하면 빠뜨리거나 겹치는 일이 없습니다. 그다음에는 수마다 상자를 하나씩 그려 놓고 학생을 자기 수의 상자에 넣으면, 두 물음이 모두 '상자가 얼마나 찰 수 있는가'로 바뀝니다. 그리고 각 물음마다 계산에서 멈추지 않습니다. 아슬아슬하게 조건을 비껴가는 학생들의 배치를 실제로 적어 두어야 답이 하나 어긋나지 않고 정확히 고정됩니다.
1STEP 1
카드로 만들 수 있는 수를 모두 적기
카드로 만들 수 있는 수는 6개입니다.
136, 163, 316, 361, 613, 631 → 6 개
여섯 개쯤은 통째로 적어 볼 수 있는 양이라, 늘어놓는 방법을 빠뜨리거나 같은 것을 두 번 셀 걱정이 없습니다.
2.NBT.A.1Make A Systematic List2STEP 2
학생을 상자 그림으로 옮기기
학생을 그 여섯 상자에 나누어 담습니다.
학생이 저마다 상자에 앉고 나면 물음이 수에 대한 이야기에서 상자가 얼마나 차는가에 대한 이야기로 바뀌고, 그것은 셀 수 있는 것입니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram3STEP 3
(1) 20명을 최대한 고르게 나누어 담기
20을 여섯으로 나누면 3에 나머지 2입니다.
20 ÷ 6 = 3 나머지 2
20을 6으로 나누는 것은 곧 '20개를 여섯 자리에 똑같이 나누어 주기'이고, 나머지는 그 나눔이 딱 떨어지지 않는다는 것을 알려 줍니다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List학생 20명을 상자에 최대한 고르게 나누면 가장 많이 든 상자가 얼마를 담을 수밖에 없는지 드러난다.
왜?
모든 상자가 그보다 적게 담는다면, 상자를 다 합쳐도 20명을 담아낼 수 없다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
학생을 온전히 같은 몫과 나머지로 가르면, 고른 몫과 어느 한 상자가 더 받아야 할 여분이 함께 정해진다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
4STEP 4
(1) 어느 상자도 3명 이하일 수는 없다
모두 3명 이하면 18명뿐이라 모자랍니다.
6 × 3 = 18 ＜ 20
어느 수에 학생이 몰릴지 쫓아다니는 대신, 아무 데도 몰리지 않는다면 학생이 몇 명까지 들어가는지를 세어 봅니다. 3명짜리 상자 여섯 개에는 열여덟 명밖에 못 들어가므로 두 명은 안전하게 갈 곳이 없습니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement5STEP 5
(1) 약속할 수 있는 최대는 4명이다
그래서 약속할 수 있는 것은 4명입니다.
4 + 4 + 3 + 3 + 3 + 3 = 20
5명이 안 되는 배치를 하나 적어 보이는 것이, 4명이 실제 약속이지 낮춰 잡은 값이 아님을 보여 줍니다. 보장은 우리가 만들어 낼 수 있는 가장 나쁜 배치만큼만 강합니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
(2) 조건을 비껴가는 가장 큰 학급 만들기
6명을 피하려면 30명까지 버틸 수 있습니다.
6 × 5 = 30
상자 6개에 5명씩이면 5명짜리 묶음이 여섯 개이고 6 x 5 = 30입니다. 6명 무리를 피하면서 학급이 가장 커질 수 있는 한계입니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List7STEP 7
(2) 한 명을 더 들이기
한 명을 더하면 31명입니다.
6 × 5 + 1 = 31
31번째 학생도 여섯 상자 중 하나에 들어가야 하는데 상자마다 이미 5명으로 꽉 차 있으니, 그 상자가 6명 무리가 됩니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement정답
4, 31 명
6 × 5 + 1 = 31
두 답 모두 학생 수이므로 자연수여야 하는데 4와 31이 그렇습니다. (1)은 크기도 그럴듯합니다. 20명을 6개의 수에 나누면 수 하나당 평균이 3보다 조금 많으니 가장 많이 몰린 수는 3을 살짝 넘어야 하고, 4가 바로 그것입니다. 20명을 넘지 않아야 한다는 조건도 물론 맞습니다. (2)는 양쪽에서 확인됩니다. 수마다 5명씩 놓은 30명 학급은 6명 무리를 실제로 피하고, 31명은 피할 수 없습니다. 그러니 답이 하나 크지도 하나 작지도 않습니다. 두 물음의 결과도 서로 들어맞습니다. 같은 상자 그림을 (1)에서는 앞으로, (2)에서는 거꾸로 돌린 것이 6 x 3 + 2 = 20과 6 x 5 + 1 = 31입니다.
핵심 정리
먼저 상자가 몇 개인지부터 세어 보세요. 만들 수 있는 수는 여섯 개뿐이에요. 그다음 최대한 고르게 채우고 한 명만 더 들이면, 그 학생은 새로 갈 곳이 없답니다.
- 카드로 만들 수 있는 수를 모두 적기
- 학생을 상자 그림으로 옮기기
- (1) 20명을 최대한 고르게 나누어 담기
- (1) 어느 상자도 3명 이하일 수는 없다
- (1) 약속할 수 있는 최대는 4명이다
- (2) 조건을 비껴가는 가장 큰 학급 만들기
- (2) 한 명을 더 들이기