문제
생일이 같은 사람
1년은 365일이므로 생일은 365개의 날짜 중 하나입니다. 생일이 어떻게 흩어져 있어도 상관없습니다. 생일이 같은 사람이 3명 반드시 있어야 합니다. 모임에 적어도 몇 명이 있어야 하는지 구합니다.
사고력 · 초5-2 비둘기집의 원리
내 답
조심 365의 세 배쯤일 것 같지만 날짜마다 2명까지는 버틸 수 있으므로 그보다 한 명 더입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 날짜마다 이름표를 붙인 상자를 365개 그려 놓고 사람을 자기 생일 상자에 하나씩 넣으면, 막연하던 '모임' 이야기가 '상자가 얼마나 찰 수 있는가'라는 셈 문제로 바뀝니다. 그런데 여기서 식 하나로 답을 적고 끝낼 수는 없습니다. 생일이 같은 3명이 끝내 생기지 않는 모임 가운데 가장 큰 것을 실제로 만들어 사람 수를 센 다음, 거기에 1명을 더해야 합니다. 날짜가 3개뿐인 작은 경우로 줄여 보면 그 실패하는 모임을 손으로 직접 만들어 볼 수 있고, 날짜마다 2명이라는 수가 어디서 나오는지도 눈에 들어옵니다.
1STEP 1
사람과 날짜를 상자로 바꾸기
사람을 공, 날짜를 상자로 바꿉니다.
모임에 대한 물음을 상자가 얼마나 차는지에 대한 물음으로 바꾸면, 머릿속으로 상상해야 하던 것이 손으로 셀 수 있는 것이 됩니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram2STEP 2
실패한다는 것이 어떤 모습인지 정확히 적기
실패란 날짜마다 2명 이하인 경우입니다.
가장 운 나쁜 모임은 사람을 최대한 고르게 흩어 놓은 모임입니다. 사람이 한곳에 몰리는 것이 바로 3명을 만들어 내는 원인이기 때문입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List3STEP 3
1년이 3일뿐인 세상에서 시험해 보기
1년이 3일이면 답은 7명입니다.
3 × 2 + 1 = 7
날짜가 3개뿐이면 실패하는 모임을 통째로 적어 놓고 정말 실패하는지 볼 수 있습니다. 날짜가 365개여도 똑같은 방법이 통한다는 것을 여기서 확인하는 셈입니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem4STEP 4
365일에 대해 실패하는 가장 큰 모임 만들기
365일이면 실패하는 최대 모임은 730명입니다.
365 × 2 = 730
2가 365묶음 있다는 것이 곧 곱셈입니다. 365를 두 배 하는 것도 어렵지 않습니다. 300은 600, 65는 130, 600 + 130 = 730입니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List아직 실패할 수 있는 가장 큰 모임은 365개의 날짜마다 정확히 두 사람씩 있는 경우다.
왜?
모든 날짜를 한계까지 채우는 것이 세 사람이 한 상자를 함께 쓰지 않으면서 앉힐 수 있는 최대 인원이다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
그런 모임을 하나 보이면 그보다 적은 수로는 장담할 수 없음이 증명되므로, 그 한계는 단순한 짐작이 아니다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
5STEP 5
730명으로는 모자란다
730명으로는 보장할 수 없습니다.
730명, 날짜마다 많아야 2명 → 같은 생일 3명 없음
실패하는 모임을 하나 실제로 보여 주는 것이 더 작은 수로는 안 된다는 증거가 됩니다. 예 없이 규칙만 내세우는 자리에서 하나 차이의 실수가 숨어듭니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
한 사람을 더 들이기
한 명을 더하면 731명입니다.
365 × 2 + 1 = 731
2명씩 담는 상자 365개에는 통틀어 730명밖에 못 들어갑니다. 그래서 731번째 사람은 이미 2명이 들어 있는 상자로 들어갈 수밖에 없습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram정답
731 명
365 × 2 + 1 = 731
답은 사람 수이니 자연수여야 하는데 731이 그렇습니다. 또 365 x 2 = 730보다는 커야 합니다. 날짜마다 2명씩인 모임만으로도 이미 3명이 몰리는 일을 피할 수 있으니까요. 그러면서도 그보다 훨씬 크면 안 됩니다. 한 사람만 더 있으면 충분하기 때문입니다. '반드시'가 갖추어야 할 양쪽 조건이 모두 확인됩니다. 730명은 날짜마다 2명씩으로 배치하면 3명이 몰리는 것을 피할 수 있고, 731명은 피할 수 없습니다. 곁들여 확인해 보면, 같은 방법을 '생일이 같은 사람 2명'에 적용하면 365 x 1 + 1 = 366이 나오는데 이는 익히 아는 답입니다. 방법이 제대로 작동하고 있습니다.
핵심 정리
먼저 가장 운 나쁜 모임을 직접 만들어 보세요. 날짜마다 딱 2명씩이요. 그다음에 한 사람만 더 들이면 됩니다. 그 사람은 이미 2명이 있는 날짜로 갈 수밖에 없거든요.
- 사람과 날짜를 상자로 바꾸기
- 실패한다는 것이 어떤 모습인지 정확히 적기
- 1년이 3일뿐인 세상에서 시험해 보기
- 365일에 대해 실패하는 가장 큰 모임 만들기
- 730명으로는 모자란다
- 한 사람을 더 들이기
이어서 풀어볼까요