문제
최선과 최악
서랍에 네 가지 색 양말이 색깔마다 6짝씩 들어 있습니다. 보지 않고 한 짝씩 꺼냅니다. 같은 색 두 짝이 손에 들어와야 합니다. 가장 적게와 가장 많이 꺼내야 하는 수를 구합니다.
사고력 · 초5-2 비둘기집의 원리
내 답
조심 색깔마다 6짝이라는 말에 끌리지만 답을 정하는 것은 색깔의 가짓수뿐입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 최선의 경우와 최악의 경우는 둘 다 '실제로 이렇게 꺼내는 일이 있을 수 있는가'를 묻는 질문입니다. 그러니 각각에 대해 진짜 꺼내는 순서를 하나 적어 놓고 확인하는 것이 가장 안전합니다. 최선의 경우는 가장 운 좋은 순서를 적어 놓으면 그것으로 끝납니다. 최악의 경우는 '답은 5짝'이라고 말하는 것만으로는 부족합니다. 4짝을 꺼내고도 켤레가 없는 순서를 실제로 보여 주어야 4짝으로는 안 된다는 증거가 되고, 그다음에 5번째 짝은 절대로 빠져나갈 수 없음을 보여야 합니다. 색깔을 2가지로 줄여 보면 그 논증의 모양이 한눈에 들어오고, 색깔마다 상자를 하나씩 그려 보면 5짝이 모두 다른 색일 수 없는 까닭이 분명해집니다.
1STEP 1
1짝은 안 된다
한 짝으로는 절대 켤레가 되지 않습니다.
한 켤레는 2짝이라는 뜻이니, 2짝을 꺼내기 전에는 켤레가 생길 수 없습니다. 운의 문제가 아니라 세는 문제입니다.
2.OA.A.1Make A Systematic List2STEP 2
2짝으로 될 수 있음을 보이기 (가장 운 좋은 경우)
운이 좋으면 2짝으로 끝납니다.
회색, 회색 → 2짝 만에 한 켤레
운 좋은 경우를 하나 구체적으로 적어 놓으면 그것으로 가능하다는 증명이 끝납니다. 따로 설명할 것 없이 손가락으로 가리키면 됩니다.
2.OA.A.1Make A Systematic List3STEP 3
색깔이 2가지뿐일 때로 줄여 보기
색깔이 둘뿐이면 최대 3짝입니다.
회색, 파란색, ? → 2 + 1 = 3
통째로 다 적어 볼 수 있을 만큼 작게 줄이면 '1을 더하는' 이유가 어디서 나오는지 보이고, 색깔이 4가지여도 똑같은 이유가 통합니다.
2.OA.A.1Solve An Easier Related Problem4STEP 4
4짝을 꺼내고도 켤레가 없는 경우를 실제로 보이기
네 색이면 4짝까지는 켤레가 없을 수 있습니다.
회색, 파란색, 흰색, 노란색 → 아직 한 켤레 없음
어떤 수가 모자란다는 것을 정직하게 보이는 방법은, 그 수로 실패하는 순서를 직접 적어 보이는 것뿐입니다. 여기서는 그 실패하는 순서가 네 짝짜리라 통째로 적을 수 있습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List5STEP 5
5번째 양말은 반드시 켤레를 만든다
5번째 양말은 반드시 켤레를 만듭니다.
1 + 1 + 1 + 1 = 4 ＜ 5
상자 4개에 1짝씩만 담으면 아무리 해도 4짝밖에 안 되니, 다섯 번째 양말은 새로 갈 곳이 없습니다. 상자를 세어 보면 나오는 이야기입니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram다섯 번째 양말은 언제나 짝을 이루는데, 상자 넷은 양말 다섯 개를 하나씩 담을 수 없기 때문이다.
왜?
색이 넷뿐이면 양말 넷이 많아야 색을 하나씩 차지하므로, 다섯 번째 양말은 갈 새 자리가 없다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
짝을 피하는 모든 방법이 지워졌으므로, 뽑기가 어떻게 나오든 짝 없는 다섯 번의 운 나쁜 흐름은 있을 수 없다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
6STEP 6
두 답 합치기
그래서 답은 2짝과 5짝입니다.
최소 = 2, 최대 = 4 + 1 = 5
최선의 경우와 최악의 경우는 일어날 수 있는 여러 순서들의 양쪽 끝입니다. 둘 다 답하면 문제가 끝납니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
2, 5 짝
4 + 1 = 5
두 답 모두 양말의 짝수이므로 1과 24 사이의 자연수여야 하는데, 2와 5가 그렇습니다. 작은 쪽 답이 큰 쪽 답을 넘어서도 안 되는데 2는 5보다 작습니다. 5라는 수는 '반드시'를 주장하려면 통과해야 하는 두 가지 시험도 모두 통과합니다. 첫째, 켤레가 생기지 않는 4짝짜리 순서가 실제로 있습니다. 회색, 파란색, 흰색, 노란색이 바로 그것입니다. 둘째, 켤레가 생기지 않는 5짝짜리 순서는 있을 수 없습니다. 색이 4가지뿐이라 서로 다른 양말은 아무리 많아야 4짝까지밖에 못 모으기 때문입니다. 한 가지 더 눈여겨볼 것은 '색깔마다 6짝'이라는 수가 계산에 한 번도 들어오지 않았다는 점입니다. 운 좋은 켤레가 나오려면 2짝 이상, 운 나쁜 순서가 가능하려면 1짝 이상이면 충분했습니다.
핵심 정리
반드시 짝을 맞추려면 먼저 가장 운 나쁜 경우를 떠올려 보세요. 색깔마다 한 짝씩! 그다음에 한 짝만 더 꺼내면 돼요. 그 한 짝은 새로 갈 곳이 없거든요.
- 1짝은 안 된다
- 2짝으로 될 수 있음을 보이기 (가장 운 좋은 경우)
- 색깔이 2가지뿐일 때로 줄여 보기
- 4짝을 꺼내고도 켤레가 없는 경우를 실제로 보이기
- 5번째 양말은 반드시 켤레를 만든다
- 두 답 합치기
이어서 풀어볼까요