문제
공정한 게임
실험 두 가지에 각각 일어날 수 있는 경우가 셋씩 있습니다. (1)은 주사위 1개를 던져 홀수, 4보다 큰 수, 6의 약수 중에서 고릅니다. (2)는 동전 2개를 던져 숫자면이 2개, 1개, 0개 중에서 고릅니다. 가능성이 가장 높은 경우를 각각 고릅니다.
사고력 · 초5-2 경우의 수
내 답
조심 동전 둘의 결과가 셋 같지만 앞뒤를 구별하면 네 가지라 하나만 두 배로 잘 나옵니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 일어날 수 있는 결과들이 모두 똑같은 가능성을 가질 때는, 가능성을 비교하는 일이 곧 개수를 비교하는 일이 됩니다. 그러니 나올 수 있는 결과를 빠짐없이 한 번씩 적어 놓고, 각 경우에 해당하는 것에 표시만 하면 안전합니다. 주사위는 그 목록이 짧아서 금방 끝납니다. 문제는 동전 쪽입니다. '숫자면 2개, 1개, 0개' 이렇게 세 가지만 적고 셋의 가능성이 같다고 생각하기 쉬운데, 이 셋은 똑같은 가능성이 아닙니다. 두 동전을 구별해서 목록을 다시 정리하면 그 함정이 풀리고, 표시를 해 둔 동전 두 개를 실제로 몇 번 던져 보면 왜 그렇게 정리해야 하는지가 눈에 들어옵니다.
1STEP 1
'가능성이 높다'를 개수 세기로 바꾸기
가능성이 높다는 것을 경우의 개수로 바꿉니다.
주머니 속 딱지의 크기가 모두 같다면, 뽑힐 가능성이 가장 높은 색은 그냥 딱지가 가장 많은 색입니다.
7.SP.C.7Make A Systematic List2STEP 2
(1) 여섯 눈을 한 번씩 적어 놓기
주사위 눈 여섯 개를 적어 놓습니다.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
여섯 개쯤은 전부 적어 볼 수 있는 양입니다. 어느 쪽이 '더 많아 보인다'고 눈짐작하는 것보다 언제나 안전합니다.
7.SP.C.7Make A Systematic List3STEP 3
(1) 세 경우의 개수 세기
세 경우의 개수는 3, 2, 4입니다.
①: 3, ②: 2, ③: 4
6의 약수를 찾는 것은 4학년 약수 공부 그대로입니다. 1과 6, 2와 3처럼 짝을 지어 보면 약수가 정확히 네 개라는 것이 드러나서 빠뜨린 것이 없음을 알 수 있습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
(1) 개수를 견주어 답 고르기
가장 많은 것은 6의 약수입니다.
3/6 = 1/2, 2/6 = 1/3, 4/6 = 2/3
세 경우 모두 똑같은 6가지 결과를 기준으로 세었으니, 분수로 바꾸지 않고 개수만 곧바로 비교해도 됩니다.
7.SP.C.7Make A Systematic List5STEP 5
(2) 흔히 빠지는 함정과 그 해결
동전 둘은 앞뒤를 구별해서 세야 합니다.
동전 2개를 한꺼번에 던지는 것은 동전 1개를 두 번 던지는 것과 똑같습니다. 첫 번째에 나온 숫자면과 두 번째에 나온 숫자면을 같은 결과라고 하는 사람은 없는데, 스티커를 붙여 놓으면 그 사실이 눈에 보이게 됩니다.
7.SP.C.8Organize Information In More Ways동전 두 개를 함께 던지는 것은 한 동전을 두 번 던지는 것과 똑같으므로, 결과는 셋이 아니라 넷이다.
왜?
첫 동전의 면이 둘째 동전의 면을 제한하지 않으므로, 두 동전의 모든 조합이 실제로 일어난다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
왜?
한 동전에 표시를 붙여 보면 앞면 다음 뒷면과 뒷면 다음 앞면이 하나가 아니라 둘임이 드러난다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
6STEP 6
(2) 네 가지 결과를 모두 적고 세기
결과 네 가지를 모두 적습니다.
2 × 2 = 4; ①: 1, ②: 2, ③: 1; 1 + 2 + 1 = 4
동전마다 한 칸씩 두 칸으로 나누어 적으면 모든 조합이 정확히 한 번씩만 나타나고, 그래서 센 개수를 믿을 수 있게 됩니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List7STEP 7
(2) 비교하고, 왜 숫자면 1개가 특별한지 보기
숫자 면 1개가 두 가지로 가장 많습니다.
1/4, 2/4 = 1/2, 1/4
어떤 경우가 되는 길이 여러 갈래이면 가능성도 딱 그 갈래 수만큼 커집니다. 그래서 '숫자면 1개'가 '2개'와 '0개'를 이깁니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List8STEP 8
실제로 던져서 확인하기
직접 던져 보아도 같은 결론입니다.
실험으로는 분수와 똑같은 값이 나오지 않습니다. 그래도 충분히 여러 번 하면 세 경우의 순서는 분명해지는데, 문제가 묻는 것이 바로 그 순서입니다.
7.SP.C.7Create A Physical Representation정답
6의 약수, 숫자 면 1개
4/6, 2/4
(1)에서 센 개수 3, 2, 4는 모두 0과 6 사이의 수이므로 면의 개수로서 말이 됩니다. 이긴 경우의 가능성인 6번 중 4번은 절반보다 조금 큰데, 여섯 면 중 네 면을 차지하는 경우라면 그 정도가 맞습니다. (2)에서는 센 개수 1, 2, 1을 더하면 결과의 총수인 4가 정확히 나옵니다. 세 경우가 일어날 수 있는 모든 일을 빠짐없이 덮으면서 겹치지도 않는다는 뜻이고, 이 확인이 목록이 완전하다는 증거가 됩니다. (2)의 답은 '두 동전은 좀처럼 같은 면이 나오지 않는다'는 감각과도 맞습니다. 두 동전이 같아지는 것은 절반뿐이고 그 절반이 다시 숫자면 2개와 그림면 2개로 갈라지므로, 각각은 섞여 나오는 경우보다 드물 수밖에 없습니다.
핵심 정리
결과들의 가능성이 모두 같다면, 가능성이 가장 높은 경우는 만드는 방법을 가장 많이 적을 수 있는 경우예요. 동전 2개는 세 가지가 아니라 네 가지랍니다!
- '가능성이 높다'를 개수 세기로 바꾸기
- (1) 여섯 눈을 한 번씩 적어 놓기
- (1) 세 경우의 개수 세기
- (1) 개수를 견주어 답 고르기
- (2) 흔히 빠지는 함정과 그 해결
- (2) 네 가지 결과를 모두 적고 세기
- (2) 비교하고, 왜 숫자면 1개가 특별한지 보기
- 실제로 던져서 확인하기
이어서 풀어볼까요