정육면체의 단면

이름 붙이기는 괜한 일이 아닙니다. 이름이 없으면 어느 점을 이었는지 말할 수 없고, 그려 놓은 도형이 정말 원하던 도형인지 확인하기도 거의 불가능합니다.

이 한 문장이 '평면을 찾아라'를 '어느 면들을 지날지 고르라'로 바꿔 줍니다. 여섯 면 가운데 셋이나 넷이나 여섯을 고르는 일은 정육면체를 손가락으로 짚어 가며 할 수 있습니다.

정육면체의 모퉁이마다 똑같은 정사각형 세 개가 둘러싸고 있으니, 모퉁이를 고르게 잘라 내면 세 변이 똑같은 삼각형이 나올 수밖에 없습니다. 여덟 모퉁이 어디를 잘라도 같은 정삼각형이 나옵니다.

'이등변'은 대칭이 거저 주고, 남은 일은 어쩌다 정삼각형이 되어 버리지는 않았는지 확인하는 것뿐인데 그것은 피타고라스 비교 한 번이면 끝납니다. 모퉁이를 자른 삼각형의 한 꼭짓점을 모서리를 따라 아래로 내리는 것이, 대칭은 지키면서 정삼각형만 깨뜨리는 가장 자연스러운 방법입니다.

면과 나란하게 자르는 것은 식빵 한 덩이에서 한 조각을 써는 것과 같습니다. 잘린 면은 식빵의 끝면을 그대로 베낀 모양입니다.

정육면체에서 마주 보는 두 모서리를 지나게 자르면 언제나 이 길쭉한 직사각형이 나옵니다. 정육면체에서 잘라 낼 수 있는 가장 큰 직사각형인데, 정사각형의 대각선은 늘 한 변보다 기니 절대로 정사각형이 되지 않습니다.

평행사변형이 아니라 사다리꼴을 얻으려면 마주 보는 두 면을 길이가 다른 선분으로 지나가야 합니다. 여기서는 아랫면을 대각선 전체로 가로지르는 대신, 윗면은 꼭짓점 ㄱ 근처만 살짝 잘라 냅니다.

넷째에서 만든 직사각형을 그 중심을 축으로 기울여 꼭짓점이 모서리의 한가운데로 미끄러져 가게 하면, 직각 넷이 예각 둘과 둔각 둘로 바뀌면서 네 변의 길이는 그대로 남습니다. 그것이 바로 정사각형이 아닌 마름모입니다.

변이 여섯 개가 되는 길은 이것뿐이고, 찰흙으로 꼭 해 볼 만합니다. 정육면체를 긴 대각선에 수직으로, 정확히 중심을 지나게 자르면 또 정사각형이 나오려니 했던 자리에 반듯한 육각형이 나타납니다.

단면은 그림만 보고는 믿기 어렵습니다. 비스듬한 겨냥도가 모든 도형을 늘여 놓기 때문입니다. 실제로 한 번 자르면 의심할 것이 없어지고, 문제집도 바로 이 방법을 권합니다.