문제
회전체의 단면
똑같은 원뿔을 서로 다른 평면으로 여섯 번 자릅니다. 회전축에 수직으로 위와 아래에서 두 번, 회전축을 지나 한 번, 회전축과 나란한 세로로 한 번, 밑면에 닿지 않게 비스듬히 한 번, 밑면까지 비스듬히 한 번 자릅니다. 여섯 단면의 모양을 각각 그립니다.
사고력 · 초6-2 회전체와 단면
내 답
조심 비스듬히 잘라도 원일 것 같지만 타원이 됩니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 서로 다른 여섯 가지 자르기를 한꺼번에 머릿속에 떠올리는 것은 어렵고, 애초에 머리로만 할 일이 아닙니다. 당근을 원뿔 모양으로 깎거나 고깔 모양 종이컵에 물을 반쯤 담아 기울여 보면 자를 때마다 단면이 눈앞에 나타납니다. 그리고 여섯 그림 뒤에는 찾아낼 규칙이 하나 있습니다. 단면의 모양은 자르는 평면이 회전축에 대해 어떻게 놓였는가, 그리고 그 평면이 평평한 밑면까지 닿는가 하는 두 가지로만 결정된다는 것입니다. 이 두 질문으로 여섯 가지를 갈라 놓으면 문제 여섯 개가 쉬운 갈래 세 개로 줄어듭니다.
1STEP 1
평면마다 두 가지를 먼저 묻기
평면마다 회전축과의 사이와 밑면에 닿는지를 묻습니다.
먼저 갈라 놓아야 여섯 번의 막연한 짐작이 되지 않습니다. 예 아니요로 답하는 질문 두 개만으로 여섯 가지가 비슷하게 행동하는 세 갈래로 나뉩니다.
7.G.A.3Look For A Pattern자르는 평면에 대한 예 아니오 물음 두 가지만으로 여섯 자름이 비슷하게 움직이는 무리로 나뉜다.
왜?
각 평면은 꼭짓점을 지나거나 지나지 않고 밑면과 만나거나 만나지 않으므로, 모든 자름이 정확히 한 무리에 들어간다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
원 위의 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있어 원뿔은 어느 높이에서도 둥글므로, 평평하게 자르면 둥근 모양만 나온다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
2STEP 2
첫째 줄 두 칸 — 회전축에 수직인 평면은 원
회전축에 수직이면 단면은 원입니다.
(단면인 원의 반지름) ∝ (꼭짓점에서 떨어진 거리)
당근을 곧게 가로로 썰면 동그란 조각이 나오고, 아래쪽에서 썰수록 조각이 커집니다. 원뿔은 어느 높이에서나 둥그니 수평으로 자른 자리는 둥글 수밖에 없습니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships3STEP 3
둘째 줄 왼쪽 — 회전축을 포함하는 평면은 이등변삼각형
회전축을 품으면 이등변삼각형입니다.
(비스듬한 두 변의 길이가 같다) → (이등변삼각형)
여섯 가운데 가장 큰 단면입니다. 애초에 돌려서 원뿔을 만든 그 평면도형과 거울상을 합쳐 놓은 것이니, 비스듬한 두 변이 같게 나오는 것이 당연합니다.
7.G.A.3Draw A Diagram4STEP 4
둘째 줄 오른쪽 — 회전축 옆의 세로 평면은 곧은 변 위에 굽은 지붕
회전축 옆의 세로 평면은 굽은 지붕 모양입니다.
곧은 변을 줄 수 있는 것은 평평한 밑면뿐이라 곧은 변이 정확히 하나만 생깁니다. 그리고 평면이 꼭짓점을 비켜 갔으니 위가 뾰족해지지 않고 둥글게 마무리됩니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships5STEP 5
셋째 줄 왼쪽 — 옆면만 한 바퀴 도는 비스듬한 평면은 타원
옆면만 한 바퀴 도는 비스듬한 평면은 타원입니다.
물이 든 원기둥 모양 컵을 기울이고 수면을 보면 원이 아니라 타원입니다. 비스듬히 자르면 둥근 모양이 한 방향으로만 늘어나고, 그것이 원을 타원으로 바꿉니다.
7.G.A.3Create A Physical Representation6STEP 6
셋째 줄 오른쪽 — 밑면까지 닿는 비스듬한 평면은 타원의 일부
밑면까지 닿는 비스듬한 평면은 타원의 일부입니다.
셋째 줄 왼쪽이 타원 전체라면, 이번 것은 같은 타원의 아래쪽을 밑면이 잘라 낸 것입니다. 굽은 선을 곧은 선 하나가 막아 닫아 준 모양이 나오는 이유입니다.
7.G.A.3Draw A Diagram7STEP 7
여섯 답을 대칭으로 점검하기
여섯 단면이 모두 좌우 대칭인지 확인합니다.
한쪽으로 치우친 단면이 나왔다면 그것은 틀린 그림입니다. 대칭은 답을 확정하기 전에 잘못된 그림을 빨리 걸러 내는 방법입니다.
4.G.A.3Look For A Pattern정답
원, 원, 이등변삼각형, 굽은 지붕, 타원, 타원의 일부
단면은 모두 원뿔 안에 들어가야 하므로 여섯 가운데 어느 것도 밑면 원보다 넓을 수 없는데, 실제로 그렇습니다. 회전축에 수직인 두 자르기는 원을 주고 그중 위쪽에서 자른 것이 더 작은데, 원뿔이 꼭짓점 쪽으로 갈수록 가늘어지는 것과 들어맞습니다. 평평한 밑면까지 실제로 닿는 세 평면만 곧은 변을 만들고, 그것도 하나씩만 만듭니다. 평면과 평면은 오직 한 직선에서 만나기 때문입니다. 이등변삼각형만 예외처럼 보이는데, 그 평면은 꼭짓점까지 지나가는 바람에 옆면과 만나는 두 자리마저 곧은 선이 되기 때문입니다. 모든 답이 선대칭인 것도 회전체를 자른 단면이라면 반드시 그래야 하는 성질입니다. 마지막으로 가장 큰 단면은 회전축을 지나는 자르기에서 나와야 하는데, 이등변삼각형이 실제로 여섯 중 가장 높고 가장 넓습니다.
핵심 정리
단면은 회전축만 봅니다. 회전축에 수직으로 곧게 자르면 원, 꼭짓점을 지나 회전축을 품고 자르면 이등변삼각형, 비스듬히 자르면 타원이고, 곧은 변은 칼이 평평한 밑면에 닿을 때에만 생깁니다.
- 평면마다 두 가지를 먼저 묻기
- 첫째 줄 두 칸 — 회전축에 수직인 평면은 원
- 둘째 줄 왼쪽 — 회전축을 포함하는 평면은 이등변삼각형
- 둘째 줄 오른쪽 — 회전축 옆의 세로 평면은 곧은 변 위에 굽은 지붕
- 셋째 줄 왼쪽 — 옆면만 한 바퀴 도는 비스듬한 평면은 타원
- 셋째 줄 오른쪽 — 밑면까지 닿는 비스듬한 평면은 타원의 일부
- 여섯 답을 대칭으로 점검하기
이어서 풀어볼까요