문제
높이가 같은 삼각형의 넓이 (2)
직사각형 모양의 땅이 한 번 꺾인 길로 두 농장으로 나뉘어 있습니다. 길을 위쪽 변에서 아래쪽 변까지 곧게 다시 그립니다. 두 농장의 넓이는 지금 그대로여야 합니다. 곧은 길을 어떻게 그어야 하는지 구합니다.
사고력 · 초5-1 등적변형 (2)
내 답
조심 두 끝을 그대로 두고 이으면 될 것 같지만 그러면 넓이가 달라집니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 이 길에서 잘못된 것은 꺾인 점 하나뿐이고, 그 꺾임은 정확히 삼각형 한 개만큼의 땅입니다. 길의 두 끝과 꺾인 점이 이루는 삼각형 ㄱㄴㄷ이 그것입니다. 그러니 진짜 문제는 보기보다 훨씬 작습니다. 이 삼각형을, 넓이는 같으면서 뾰족한 끝이 직사각형의 변 위로 가는 다른 삼각형으로 바꿔치기하면 됩니다. 삼각형은 꼭짓점을 밑변과 평행한 직선을 따라 밀어도 넓이가 그대로인데, 이것은 삼각자만 있으면 재지 않고도 그을 수 있는 작도입니다. 마지막에는 수를 넣은 작은 직사각형으로 확인해서 넓이가 정말 움직이지 않았는지 봅니다.
1STEP 1
길의 세 점에 이름 붙이기
길의 세 점에 이름을 붙입니다.
중요한 점 세 개에 글자를 하나씩 붙이면 흐릿하던 그림이 또박또박 말할 수 있는 대상이 됩니다. 그리고 여기서 중요한 점은 정말 셋뿐입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
꺾임이 삼각형 하나만큼이라는 것 알아보기
꺾임은 삼각형 하나만큼의 차이입니다.
(㉠ 농장) = (선분 ㄱㄷ의 왼쪽) + (삼각형 ㄱㄴㄷ), (㉡ 농장) = (선분 ㄱㄷ의 오른쪽) - (삼각형 ㄱㄴㄷ)
넓이는 더하고 뺄 수 있습니다. 한쪽 농장이 얻는 만큼 다른 쪽이 잃으므로, 문제 전체가 삼각형 하나의 넓이를 지키는 일로 줄어듭니다.
3.MD.C.7Identify Subproblems3STEP 3
넓이가 같은 삼각형이 어떤 것인지 떠올리기
밑변과 나란한 선 위의 점은 넓이가 같은 삼각형을 만듭니다.
(밑변이 ㄱㄷ인 삼각형) = (선분 ㄱㄷ) × (높이) ÷ 2 (꼭짓점이 ㄴ을 지나며 ㄱㄷ에 평행한 직선 위에 있을 때)
평행한 두 직선 사이의 간격은 어디서나 같습니다. 그래서 꼭짓점을 평행선을 따라 밀면 삼각형이 옆으로 기울어질 뿐 키는 조금도 자라지 않습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram굽은 경계를 곧게 펼 수 있는 것은, 같은 밑변 위에서 넓이가 같은 다른 삼각형으로 바꿔 놓을 수 있기 때문이다.
왜?
한 밑변 위에 있고 꼭짓점이 그 밑변과 평행한 선 위에 있는 두 삼각형은 언제나 같은 넓이를 덮는다.
🧱밑변이 같고 꼭짓점이 평행선 위면 넓이가 같다삼각형의 꼭짓점을 밑변과 평행한 선을 따라 밀면 높이가 변하지 않으므로, 아무리 기울어 보여도 넓이는 그대로다.
왜?
길 양쪽은 저마다 조각을 합친 것이므로, 한 조각을 같은 넓이의 것으로 바꾸어도 양쪽 넓이는 그대로 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
4STEP 4
실제로 작도하기
꺾인 점을 지나 대각선과 나란한 선을 긋습니다.
ㄱㄷ ∥ ㄴㄹ, ㄹ = (그 평행선) ∩ (아래쪽 변)
주어진 점을 지나는 평행선 긋기는 자와 삼각자로 하는 기본 동작입니다. 그래서 숫자가 하나도 없는 그림 위에서도 이 작도가 그대로 됩니다.
4.G.A.2Draw A Diagram5STEP 5
넓이가 정말 그대로임을 보이기
그 선이 아래 변과 만나는 점까지가 새 길입니다.
(삼각형 ㄱㄷㄹ) = (삼각형 ㄱㄴㄷ) → (㉠ 농장)' = (㉠ 농장), (㉡ 농장)' = (㉡ 농장)
삼각형 하나를 크기가 똑같은 다른 삼각형으로 맞바꾼 것이므로, 경계는 움직였어도 두 농부가 가진 땅의 양은 손대지 않은 그대로입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems6STEP 6
수를 넣은 쉬운 직사각형으로 확인하기
수를 넣어 보면 두 농장의 넓이가 그대로입니다.
24 + 6 = 30 = (6 + 9) × 4 ÷ 2, 48 - 30 = 18
숫자가 없던 그림에 쉬운 수를 붙여 보는 것이, 일반적인 설명을 믿기 전에 작도가 정말 통하는지 확인하는 가장 빠른 방법입니다.
6.G.A.1Solve An Easier Related Problem7STEP 7
같은 일을 하는 다른 답도 있다는 것 짚어 두기
반대 방향으로 그어도 같은 일이 됩니다.
꺾인 점을 지나는 평행선은 위쪽 변과도 아래쪽 변과도 만나고, 만나는 자리마다 곧은 길이 하나씩 나옵니다. 그래서 답을 나열해 두면 정답이 하나뿐이라고 오해하지 않게 됩니다.
4.G.A.1Make A Systematic List정답
꺾인 점을 지나 대각선과 나란한 선
두 농장이 직사각형 전체를 채우므로 넓이의 합은 길을 바꾸기 전에도 후에도 직사각형의 넓이여야 하는데, 새 경계도 여전히 위쪽 변에서 아래쪽 변까지 가는 한 줄이므로 그렇습니다. 새 길이 놓인 쪽도 맞습니다. 꺾인 점 ㄴ이 오른쪽으로 튀어나와 있었으므로 새 끝점 ㄹ은 ㄷ보다 오른쪽에 놓이고, ㉠ 농장은 위쪽에서 갖고 있던 뾰족한 땅을 내주는 대신 아래쪽 변을 따라 오른쪽으로 그만큼 더 뻗습니다. 설명에 길이가 한 번도 쓰이지 않은 것도 숫자가 없는 그림에 어울립니다. 쓴 것은 평행하다는 것과 밑변이 같다는 것뿐입니다. 수를 넣은 확인용 직사각형에서도 딱 맞았습니다. 바꾸기 전에 30과 18, 바꾼 뒤에도 30과 18입니다.
핵심 정리
뾰족하게 파고든 삼각형의 꼭짓점을 밑변과 평행한 직선을 따라 밭 가장자리까지 밀어 보세요. 넓이는 그대로인데 경계는 곧아집니다.
- 길의 세 점에 이름 붙이기
- 꺾임이 삼각형 하나만큼이라는 것 알아보기
- 넓이가 같은 삼각형이 어떤 것인지 떠올리기
- 실제로 작도하기
- 넓이가 정말 그대로임을 보이기
- 수를 넣은 쉬운 직사각형으로 확인하기
- 같은 일을 하는 다른 답도 있다는 것 짚어 두기
이어서 풀어볼까요