문제
프랙탈
검은 삼각형마다 각 변의 중점을 이어 4등분합니다. 그중 가운데 삼각형을 잘라 버립니다. 0번째는 1개, 1번째는 3개, 2번째는 9개의 검은 삼각형입니다. 3번째를 그리고 4번째의 검은 삼각형 수를 구합니다.
사고력 · 초4-1 수열의 활용
내 답
조심 1, 3, 9를 보고 6씩 더한다고 읽기 쉽지만 실은 3배씩 늘어납니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 4번째를 직접 그리려면 아주 작은 삼각형 81개를 색칠해야 하는데 손으로 할 만한 일이 아니다. 그래서 검은 삼각형 하나에 규칙을 한 번 적용하면 무슨 일이 일어나는지만 살펴보고, 그것을 그림에 이미 그려진 세 단계로 검사한 뒤 개수를 세는 규칙으로 바꾼다. (1)의 3번째는 손으로 그릴 만한 크기이고, 그리는 과정이 곧 개수 규칙을 한 번 더 확인해 주는 셈이어서 4번째로 넘어가기 전에 안심할 수 있다.
1STEP 1
그려져 있는 단계의 검은 삼각형 세기
그려진 단계는 검은 삼각형이 1, 3, 9개입니다.
0번째: 1, 1번째: 3, 2번째: 9
세 단계가 모두 그려져 있으므로 이 단계는 짐작이 아니라 정직하게 센 결과다. 규칙이 맞는지 견줄 진짜 자료가 생긴 것이다.
4.OA.C.5Draw A Diagram2STEP 2
검은 삼각형 하나에 규칙이 하는 일 보기
검은 삼각형 하나가 검은 3개로 바뀝니다.
4 - 1 = 3 (검은 삼각형 1개가 3개로)
그림 전체가 아니라 삼각형 하나만 생각해도 충분하다. 규칙이 모든 검은 삼각형을 똑같이 다루기 때문이다.
3.OA.A.1Solve An Easier Related Problem규칙은 검은 삼각형 하나하나를 셋으로 바꾸므로, 단계마다 그림 전체가 세 배가 된다.
왜?
모든 검은 삼각형이 똑같이 다루어지므로, 이미 몇 개가 있든 개수는 같은 비로 자라난다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
왜?
삼각형 하나를 셋으로 바꾸는 것은 지금 개수의 같은 묶음 셋을 취하는 일이며, 그것이 3을 곱한다는 뜻이다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
3STEP 3
3배 규칙을 그려진 단계마다 검사하기
그려진 단계마다 3배 규칙이 맞습니다.
1 × 3 = 3 ✓ 3 × 3 = 9 ✓
아직 아무도 그리지 않은 단계로 규칙을 늘려 쓰기 전에, 이미 그려져 있는 경우로 먼저 검사해 보는 것이 가장 값싸고 확실한 확인이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
(1) 3번째 시어핀스키 삼각형 그리기
3번째는 9 × 3 = 27개가 됩니다.
9 × 3 = 27 (3번째의 검은 삼각형)
다음 단계를 그리는 일은 규칙을 손으로 한 번 더 실행하는 것일 뿐이고, 미리 선이 그어진 윤곽선이 검은 삼각형 9개가 어디인지까지 이미 표시해 준다.
4.OA.C.5Draw A Diagram5STEP 5
(2) 4번째의 개수 세기
4번째는 27 × 3 = 81개입니다.
1 → 3 → 9 → 27 → 81
규칙이 3배 하기라는 것만 알면 4번째에 닿는 데 곱셈 한 번이면 된다. 조각 81개짜리 그림을 그릴 필요가 없다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern정답
27, 81 개
9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81
개수 1, 3, 9, 27, 81은 계속 커지면서도 모두 자연수이고 앞의 수의 3배씩이다. 검은 삼각형 하나가 검은 삼각형 3개가 된다는 사실과 잘 맞는다. 크기도 따져 볼 수 있다. 답은 3번째의 27보다 커야 하고, 아무것도 버리지 않았을 때의 조각 수보다는 작아야 한다. 하나도 버리지 않는다면 4번째에는 4 × 4 × 4 × 4 = 256개의 작은 삼각형이 있을 텐데 81은 그보다 넉넉히 작다. 단계마다 구멍을 뚫어 냈으니 마땅한 결과다. 또 단계를 세는 일은 조각의 개수를 세는 일이므로 단위 없는 자연수가 나오는 것이 맞다.
핵심 정리
검은 삼각형 하나가 작은 검은 삼각형 3개로 바뀌니까 개수는 계속 3배씩 늘어납니다. 1, 3, 9, 27, 81이지요.
- 그려져 있는 단계의 검은 삼각형 세기
- 검은 삼각형 하나에 규칙이 하는 일 보기
- 3배 규칙을 그려진 단계마다 검사하기
- (1) 3번째 시어핀스키 삼각형 그리기
- (2) 4번째의 개수 세기