문제
대칭 게임
왼쪽 접시에 구슬 6개, 오른쪽 접시에 4개가 있습니다. 자기 차례에 한 접시만 골라 1개 이상 가져갑니다. 두 접시에서 함께 가져갈 수는 없습니다. 마지막 구슬을 가져가려면 어떻게 해야 하는지 구합니다.
사고력 · 초4-2 님게임
내 답
조심 한 번에 많이 가져가면 좋을 것 같지만 이기는 열쇠는 두 접시를 같게 만드는 것입니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 처음에 어떤 수를 가져가야 이기는지는 눈에 보이지 않지만, 놀이의 끝은 아주 또렷합니다. 마지막 구슬을 가져가면 이깁니다. 그래서 끝에서부터 거꾸로 올라오며 '차례가 돌아온 사람에게 가망이 없는 상태'가 어떤 것인지 찾습니다. 생각을 쉽게 하려고 1개와 1개, 2개와 2개처럼 아주 작은 경우를 실제 구슬로 먼저 놓아 보고, 거기서 알아낸 것을 6개와 4개에 그대로 옮깁니다.
1STEP 1
놀이의 끝에서 거꾸로 생각하기
놀이의 끝에서 거꾸로 따져 봅니다.
마지막 수를 먼저 생각하는 것은 바둑이나 보드게임에서 끝내기를 계획하는 방법과 똑같습니다. 판이 어떤 모습이 되기를 바라는지 먼저 정하고, 그 모습을 향해 가는 것입니다.
4.OA.A.3Work Backwards2STEP 2
아주 작은 경우를 구슬로 직접 놓아 보기
작은 경우를 놓아 보면 같은 개수가 지는 자리입니다.
(4,4) → (3,3) → (2,2) → (1,1) → (0,0)
구슬을 손으로 옮겨 놓아 보면 규칙이 눈에 들어옵니다. 두 접시가 같으면 차례가 된 사람에게 나쁘고, 다르면 좋습니다.
3.OA.D.9Create A Physical Representation3STEP 3
작은 경우가 알려 준 규칙을 말로 정리하기
그러니 상대에게 같은 개수를 넘기면 됩니다.
규칙 하나가 모든 상태를 한꺼번에 덮어 줍니다. 좋은 경우와 나쁜 경우를 목록으로 외울 필요가 전혀 없습니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem4STEP 4
먼저 시작해서 두 접시를 같게 만들기
먼저 두어 6개에서 2개를 가져갑니다.
6 - 4 = 2 → (6,4) → (4,4)
몇 개를 가져갈지는 뺄셈 한 번으로 끝납니다. 두 접시의 차이만큼 가져가면 됩니다.
4.OA.A.3Work Backwards5STEP 5
그다음부터는 상대를 그대로 따라 하기
그다음부터는 상대를 그대로 따라 합니다.
(4,4) → (4,1) → (1,1) → (0,1) → (0,0)
앞일을 미리 계산할 필요가 없습니다. 상대가 두는 수가 곧 내가 둘 수를 알려 줍니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem두 접시가 같아진 뒤에는 상대의 수를 반대쪽 접시에 그대로 따라 두면 언제나 둘 수 있는 수가 남는다.
왜?
상대가 두는 모든 수에는 당신이 둘 수 있는 거울 수가 정확히 하나씩 있으므로, 수가 떨어지는 쪽은 결코 당신이 아니다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
따라 두면 당신의 차례가 끝날 때마다 접시가 다시 같아지므로, 상대에게 넘어가는 자리는 언제나 균형 잡힌 쪽이다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
6STEP 6
왜 마지막 구슬을 내가 가져가게 되는지 밝히기
따라 할 구슬이 늘 남아 마지막 구슬은 내 것입니다.
내가 늘 두 접시를 같게 맞추어 넘기므로 상대는 두 접시를 한꺼번에 비울 수가 없습니다. 그런데 마지막 구슬은 누군가 가져가야 하지요.
3.OA.D.9Work Backwards정답
먼저 6개 접시에서 2개를 가져간 뒤 따라 하기
6 − 2 = 4
이 방법은 상대의 모든 응수에 통해야 하므로 양 끝의 경우를 확인해 봅니다. 상대가 4개짜리 접시를 통째로 비우면 나도 나머지 접시의 4개를 전부 가져가며 마지막 구슬을 쥡니다. 상대가 1개만 가져가면 나도 1개를 가져가 3개와 3개로 되돌려 줍니다. 내 차례가 끝날 때마다 두 접시가 같으므로, 한 접시만 건드릴 수 있는 상대는 두 접시를 함께 비울 수 없습니다. 두 접시가 8개 이하인 모든 상태를 컴퓨터로 하나씩 따져 보아도 결과는 같습니다. 차례가 된 사람이 지는 상태는 정확히 두 접시가 같은 상태이고, 6개와 4개에서 이기는 첫수는 6개짜리 접시에서 2개를 가져가는 것 하나뿐입니다.
핵심 정리
첫수로 두 접시를 같게 맞춘 다음, 상대가 가져간 만큼 반대쪽에서 그대로 따라 가져가세요. 거울은 지는 법이 없답니다.
- 놀이의 끝에서 거꾸로 생각하기
- 아주 작은 경우를 구슬로 직접 놓아 보기
- 작은 경우가 알려 준 규칙을 말로 정리하기
- 먼저 시작해서 두 접시를 같게 만들기
- 그다음부터는 상대를 그대로 따라 하기
- 왜 마지막 구슬을 내가 가져가게 되는지 밝히기