문제
구슬 가져가기
①번부터 ⑩번까지 구슬 10개가 한 줄로 놓여 있습니다. 번갈아 가며 남은 것 중 번호가 가장 작은 구슬부터 가져갑니다. 규칙이 세 가지 주어집니다. 규칙마다 내가 꼭 가져가야 할 구슬을 구합니다.
사고력 · 초4-2 님게임
내 답
조심 세 규칙을 같은 방법으로 풀고 싶지만 (3)에서는 마지막 구슬을 가져가면 집니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 규칙이 승부를 게임의 맨 끝 장면으로 정해 주니, 생각도 맨 끝에서 시작해야 합니다. 먼저 어느 구슬이 승부를 가르는지 묻고, 그 구슬을 내 것으로 만들려면 한 차례 앞에서 무엇을 해 두었어야 하는지 묻고, 다시 그 한 차례 앞을 묻습니다. 이렇게 거슬러 올라가면 꼭 가져가야 하는 구슬이 줄줄이 나오는데, 그 번호들이 일정한 간격으로 놓입니다. 그 규칙 덕분에 방법을 외우기가 쉬워집니다. 끝부분의 작은 경우를 빠짐없이 나열해 보면 어느 상황이 그 차례인 사람에게 가망 없는 상황인지도 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
남은 개수만 따지면 된다는 것을 알아채기
따질 것은 남은 구슬의 개수뿐입니다.
가져간 구슬 = 1,…,k → 남은 개수 = 10 - k
구슬 10개라면 따져야 할 상황이 엄청나게 많을 것 같지만, 번호 순서대로 가져간다는 규칙이 그것을 열한 가지로 확 줄여 줍니다. 하나하나 다 살펴볼 만한 수입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List2STEP 2
(1) 규칙: 차례가 모두 정해져 있다
(1)은 차례가 정해져 내 몫은 ②④⑥⑧⑩입니다.
나: ②,④,⑥,⑧,⑩ 상대: ①,③,⑤,⑦,⑨
고를 것이 하나도 없으니 이기고 지는 것이 잘하고 못하고와는 아무 상관이 없습니다. 오직 내가 먼저 하느냐 나중에 하느냐로 결정되고, 짝수 번호는 두 번째 사람의 몫입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
(2) 규칙: 끝에서부터 한 걸음씩 거슬러 올라가기
(2)는 마지막 ⑩에서 세 걸음씩 거슬러 올라갑니다.
10 - 7 = 3
3이 마법의 간격인 까닭은 가져갈 수 있는 개수가 1개와 2개뿐이기 때문입니다. 상대가 t개를 가져가면 남는 3 - t개가 언제나 내가 가져갈 수 있는 개수라서, 마지막은 늘 내 차지가 됩니다.
4.OA.A.3Work Backwards끝난 판에서 시작해 거꾸로 밟아 가면 앞선 모든 자리에 이김과 짐이 붙는다.
왜?
거꾸로 밟는 것은 한 수를 되돌리는 일이므로, 어떤 자리의 이름표는 그 자리가 넘겨줄 수 있는 자리들만으로 정해진다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
어떤 자리가 지는 자리라는 것은 거기서 두는 모든 수가 상대에게 이김을 넘겨줄 때뿐이므로, 모든 탈출구를 지우면 결판난다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
4STEP 4
(2) 규칙: 처음까지 같은 걸음으로 거슬러 올라가기
처음까지 이어 가면 ①④⑦⑩이 나옵니다.
10-1 = 9, 10-4 = 6, 10-7 = 3, 10-10 = 0
3의 배수만큼 남겨 주면 상대가 t개를 가져갈 때마다 나는 3 - t개로 되받을 수 있습니다. 그러니 상대가 무엇을 하든 남은 개수는 9, 6, 3, 0으로 차곡차곡 내려갑니다.
4.OA.A.3Work Backwards5STEP 5
꼭 가져가야 할 구슬의 번호에서 규칙 읽기
꼭 가져야 할 번호는 3씩 뛰는 수입니다.
① → ④ → ⑦ → ⑩
내 차례와 상대의 차례를 묶어 언제나 3개짜리 한 바퀴로 만드는 것이 상대의 선택을 무력하게 만듭니다. 고르는 것은 상대이지만 한 바퀴의 합계를 정하는 것은 나입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern6STEP 6
(3) 규칙: 이번에는 마지막 구슬이 독이 든 구슬
(3)은 ⑩이 독이라 ③⑥⑨를 가져야 합니다.
⑨ → ⑥ → ③
이기는 규칙이 지는 규칙으로 바뀌어도 목표가 구슬 하나만큼 앞당겨질 뿐입니다. ⑩번 대신 ⑨번을 차지하는 것이 할 일이 되고, 3씩 건너뛰는 가락은 그대로입니다.
4.OA.C.5Work Backwards7STEP 7
직접 두어 보며 확인하기
직접 두어 보면 세 답이 모두 맞습니다.
①,④,⑦,⑩ 그리고 ③,⑥,⑨
차례마다 상대가 할 수 있는 두 가지를 모두 두어 보는 것이 '이러면 될 것 같다'를 '이러면 절대 안 진다'로 바꿔 줍니다. 상대에게는 그 두 가지 말고는 아무 선택지가 없기 때문입니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List정답
②④⑥⑧⑩ / ①④⑦⑩ / ③⑥⑨
10, 7, 4, 1
번호를 늘어놓은 것마다 그 게임의 승부를 가르는 구슬에서 끝나야 하는데, 셋 다 그렇습니다. (1)과 (2)는 이기는 구슬인 ⑩번에서 끝나고, (3)은 ⑨번에서 끝나 독이 든 ⑩번을 상대에게 남깁니다. 번호 사이의 간격도 가져갈 수 있는 개수와 맞아떨어집니다. (1)에서는 한 차례에 1개만 가져갈 수 있으니 간격이 2이고, (2)와 (3)에서는 1개나 2개를 가져갈 수 있으니 간격이 1 + 2 = 3입니다. 마지막으로 이 답들은 누가 먼저 시작해야 하는지도 알려 주는데, 그것도 들어맞습니다. 10은 2의 배수이므로 (1)에서는 내가 두 번째로 하고, 10은 3의 배수가 아니므로 (2)에서는 내가 먼저 하며, 10은 3의 배수보다 1만큼 크므로 (3)에서는 내가 두 번째로 합니다.
핵심 정리
승부를 가르는 구슬에서 거꾸로 출발해 보세요. '가장 많이 가져갈 수 있는 개수 + 1'만큼씩 뒤로 뛰면 되고, 상대가 몇 개를 가져가든 한 바퀴에 늘 같은 개수가 없어지도록 되받아 주면 된답니다.
- 남은 개수만 따지면 된다는 것을 알아채기
- (1) 규칙: 차례가 모두 정해져 있다
- (2) 규칙: 끝에서부터 한 걸음씩 거슬러 올라가기
- (2) 규칙: 처음까지 같은 걸음으로 거슬러 올라가기
- 꼭 가져가야 할 구슬의 번호에서 규칙 읽기
- (3) 규칙: 이번에는 마지막 구슬이 독이 든 구슬
- 직접 두어 보며 확인하기