문제
말 옮기기
칸 9개가 한 줄로 이어진 판의 맨 왼쪽에 검은 돌, 맨 오른쪽에 흰 돌이 놓이고 그 사이에 빈칸이 7개 있습니다. 번갈아 한 칸씩 옮기되 검은 돌은 오른쪽으로만, 흰 돌은 왼쪽으로만 갈 수 있고 한 칸에는 돌을 하나만 놓습니다. 더 이상 움직일 수 없는 사람이 집니다. 먼저 옮기는 쪽이 유리한지 구합니다.
사고력 · 초4-2 님게임
내 답
조심 판이 9칸이라 홀수라고 세기 쉽지만 승부를 가르는 것은 빈칸 7개의 홀짝입니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 앞에서부터 두어 보며 요행을 바라는 대신, 모든 것을 결정하는 마지막 순간부터 거꾸로 갑니다. 곧 빈칸이 하나도 남지 않은 상태에서 시작해 거꾸로 올라오면서, 상대에게 넘겨주면 좋은 사이 칸 수가 어떤 수인지 살펴봅니다. 빈칸이 0개, 1개, 2개, 3개인 작은 판은 손으로 끝까지 따져 볼 수 있고 그 결과가 눈에 띄게 번갈아 나타나므로, 7수를 다 두어 보지 않아도 빈칸 7개일 때 어떻게 되는지 패턴이 알려 줍니다. 이 모든 논의는 한 번의 이동이 사이 칸에 무슨 일을 하는지에 대한 작은 관찰 하나에 기대고 있습니다.
1STEP 1
한 번 옮기면 늘 어떤 일이 일어나는지 살펴보기
한 번 옮길 때마다 빈칸이 1씩 줄어듭니다.
(옮긴 뒤 사이 칸) = (옮기기 전 사이 칸) - 1
판을 그려 놓고 돌 하나를 한 칸 밀어 보면 가운데 빈칸이 딱 하나 줄어드는 것이 눈에 바로 보입니다. 이건 우길 수가 없는 사실입니다.
4.OA.C.5Draw A Diagram모든 수는 가운데 빈칸을 정확히 하나씩 줄이므로, 틈은 매 차례 홀수와 짝수 사이를 오간다.
왜?
틈에서 하나를 덜어내면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 홀짝은 지금까지 둔 수의 횟수로 정해진다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
모든 수가 똑같이 한 칸의 값을 치르므로, 틈은 일정한 간격으로 내려가고 그 앞날이 이미 정해져 있다.
🧱일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
2STEP 2
맨 끝에서부터 거꾸로 올라오기
빈칸 0은 지는 자리, 1은 이기는 자리입니다.
사이 0 = 패, 사이 1 = 승, 사이 2 = 패
어떤 놀이든 끝에서부터 거꾸로 살펴보는 것이 확인하는 방법입니다. 마지막 자리는 뻔하고, 그 앞의 자리는 상대에게 무엇을 넘기는지만 보면 판단이 됩니다.
4.OA.C.5Work Backwards3STEP 3
거꾸로 이어 적고 규칙 읽어 내기
거꾸로 이어 적으면 홀수면 이기고 짝수면 집니다.
0 패, 1 승, 2 패, 3 승, 4 패, 5 승, 6 패, 7 승
한 번 옮길 때마다 사이 칸이 짝수와 홀수를 오가니 승패 표시도 번갈아 나올 수밖에 없습니다. 이 놀이에서 챙길 것은 사이 칸이 짝수인지 홀수인지, 그것뿐입니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern4STEP 4
옮기는 횟수를 세어 확인하기
옮기는 횟수를 세어도 홀수입니다.
7 ÷ 2 = 3 … 1
옮기는 횟수가 처음부터 정해져 있으면, 홀수 번째 차례를 누가 가져가는지만 세어도 두어 보지 않고 승자를 알 수 있습니다.
4.NBT.B.6Solve An Easier Related Problem5STEP 5
물음에 답하기
빈칸이 7개라 먼저 옮기는 쪽이 이깁니다.
7 은 홀수 → 먼저 옮기는 사람이 이김
이 놀이에서 선택할 수 있는 것은 누가 먼저 시작하느냐뿐입니다. 그러니 사이 칸이 짝수인지 홀수인지만 알면 승자는 이미 정해져 있는 셈입니다.
2.OA.C.3Work Backwards정답
먼저 옮기는 쪽
7 ÷ 2 = 3 … 1
답이 두 사람 가운데 한쪽을 가리키고 있으니 물음에 맞는 형태입니다. 눈으로 볼 수 있을 만큼 작은 판에서 규칙을 시험해 봅니다. 사이 칸이 1개이면 먼저 옮기는 사람이 한 번 밀고 나중 사람이 막히므로 먼저가 이기는데, 1은 홀수라 규칙과 맞습니다. 사이 칸이 2개이면 먼저 옮기는 사람이 어쩔 수 없이 옮겨 사이 칸 1개를 넘겨주고, 나중 사람이 한 번 더 밀면 먼저 사람이 막히므로 나중이 이기는데, 2는 짝수라 역시 규칙과 맞습니다. 둘 다 들어맞습니다. 세어 보아도 마찬가지입니다. 경기는 언제나 딱 7번 옮기고 끝나는데 7이 홀수이므로 1번째를 맡은 사람이 마지막 7번째도 맡습니다.
핵심 정리
한 번 옮길 때마다 빈칸이 딱 하나씩 사라지니 사이 칸만 세면 돼요. 7은 홀수이고, 홀수인 사이 칸은 언제나 먼저 옮기는 사람의 것이랍니다.
- 한 번 옮기면 늘 어떤 일이 일어나는지 살펴보기
- 맨 끝에서부터 거꾸로 올라오기
- 거꾸로 이어 적고 규칙 읽어 내기
- 옮기는 횟수를 세어 확인하기
- 물음에 답하기