문제
한붓그리기
한붓그리기는 붓을 떼지 않고 같은 선을 두 번 지나지 않는 것입니다. 도형은 대각선을 모두 그은 정오각형, 두 꼭짓점만 이은 정사각형 속 정사각형, 둘씩 겹친 원 세 개, 문이 달린 집 모양 넷입니다. 선이 만나는 숨은 교차점도 점으로 셉니다. 한붓그리기가 되는 도형을 모두 고릅니다.
사고력 · 초4-2 한붓그리기
내 답
조심 복잡하면 안 될 것 같지만 잣대는 오직 홀수점이 0개나 2개인지입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 네 도형을 하나씩 이리저리 그려 보며 되는지 안 되는지 확인하려면 한없이 오래 걸리고, 무엇보다 '안 된다'는 것은 아무리 실패해도 증명이 되지 않습니다. 그래서 눈에 다 들어오는 아주 작은 도형에서 먼저 규칙을 찾아냅니다. 붓이 도중에 지나가는 점에서는 들어오는 선 하나와 나가는 선 하나, 이렇게 두 선을 한꺼번에 씁니다. 그러니 홀수 개의 선이 모인 점은 출발점이거나 도착점일 수밖에 없습니다. 규칙을 얻고 나면 도형마다 점을 하나하나 짚어 가며 몇 개의 선이 모이는지 빠짐없이 적고 홀수점의 개수를 셉니다. 이때 사람들이 잘 잊는 교차점부터 먼저 그림에 표시해 둡니다. 마지막에는 실제로 연필로 한 번 그어 보며 가능하다고 판정한 도형을 확인합니다.
1STEP 1
가장 작은 도형에서 규칙 찾기
작은 도형에서 홀수점이 0개나 2개면 된다는 규칙을 얻습니다.
홀수점의 개수 = 0 또는 2 → 한붓그리기 가능
결국 둘씩 짝짓기입니다. 들어오고 나가고, 또 들어오고 나가고. 한 점에 모인 선이 남김없이 둘씩 짝지어지면 붓은 언제나 계속 갈 수 있고, 하나가 남으면 그 자리는 출발했거나 갇힌 자리입니다.
2.OA.C.3Solve An Easier Related Problem가장 작은 그림들이 이미 규칙을 드러낸다 — 한붓그리기가 되는 그림은 홀수 점이 없거나 정확히 둘일 때뿐이다.
왜?
한 점을 지나갈 때는 들어오는 선 하나와 나가는 선 하나를 쓰므로, 획 중간에 있는 점의 선 개수는 짝수여야 한다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
왜?
홀수 점이 넷이어서 그릴 수 없는 작은 그림 하나만 있어도 그 규칙이 단순한 짐작이 아님을 보여 준다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
2STEP 2
숨은 교차점까지 빠짐없이 점 찍기
숨은 교차점까지 빠짐없이 점을 찍습니다.
㉠: 5 + 5 = 10개의 점, ㉢: 3 × 2 = 6개의 점
교차점은 붓이 방향을 꺾을 수도, 곧장 지나갈 수도 있는 자리입니다. 그러니 눈에 보이게 그려진 꼭짓점과 똑같이 도형의 점으로 셉니다.
4.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
㉠ 세기: 대각선을 모두 그은 오각형
㉠은 홀수점이 0개라 됩니다.
꼭짓점: 2 + 2 = 4 (짝수), 교차점: 4 (짝수) → 홀수점 0개
오각형의 꼭짓점은 어디나 이웃이 2개, 이웃이 아닌 곳이 2개라 한 꼭짓점만 세어 보면 다섯 곳을 다 센 셈입니다. 그리고 직선 두 개가 가로지르면 언제나 4입니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List4STEP 4
㉡ 세기: 정사각형 안의 정사각형과 이음선 두 개
㉡은 홀수점이 4개라 안 됩니다.
2+1 = 3 (네 곳) → 홀수점 4개 ＞ 2
이음선 하나가 짝수점 두 곳을 홀수점으로 바꿔 놓습니다. 이음선이 두 개면 홀수점이 네 곳이 되는데, 한 번에 긋는 선이 내줄 수 있는 끝은 두 곳뿐입니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List5STEP 5
㉢ 세기: 서로 겹친 원 세 개
㉢도 홀수점이 0개라 됩니다.
각 교차점: 곡선 끝 4 개 (짝수) → 홀수점 0개
곡선 두 개가 가로지르는 것은 직선 두 개가 가로지르는 것과 똑같습니다. 그 점에서 빠져나갈 길이 네 갈래이니, 모양이 둥글다고 세는 방법이 달라지지는 않습니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List6STEP 6
㉣ 세기: 집 모양
㉣은 홀수점이 6개라 안 됩니다.
3개의 선이 모이는 점 6곳 → 홀수점 6개 ＞ 2
함정은 문입니다. 아랫변이 그어져 있지 않기 때문에 문의 아래쪽 두 꼭짓점은 얌전한 2짜리 모퉁이가 아니라 선이 3개 모인 갈림길이 됩니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List7STEP 7
가능하다고 판정한 두 도형을 실제로 그어 보기
실제로 그어 보면 ㉠과 ㉢만 됩니다.
홀수점 세기는 '찾아볼 만한지'를 알려 주고, 실제로 길을 그어 보는 것은 그 약속을 눈앞의 사실로 바꿔 줍니다. 그리고 이 대목이 가장 재미있습니다.
4.G.A.1Create A Physical Representation정답
㉠, ㉢
0, 4, 0, 6
답은 기호를 고르는 것이니 묻는 형태와 맞습니다. 네 도형의 홀수점은 차례로 0개, 4개, 0개, 6개였는데 모두 짝수입니다. 이것은 반드시 그래야 하는 일입니다. 선마다 끝이 두 개씩이므로 모든 점에 모인 선의 개수를 다 더하면 선의 개수의 두 배가 되고, 그러면 홀수점이 홀수 개 남을 수는 없기 때문입니다. 네 도형이 모두 이 검사를 통과했으니 세는 과정이 믿을 만합니다. 한 가지 더 확인해 봅시다. ㉣에서 모든 점에 모인 선의 개수를 더하면 3 × 6 + 2 × 6 = 30이므로 선은 30 ÷ 2 = 15개인데, 그림에서 하나씩 세어 보아도 꼭 15개입니다. 마지막으로 안 된다고 판정한 두 도형은 그 이유가 눈에 보입니다. ㉡은 툭 튀어나온 이음선, ㉣은 갈림길이 된 문 자리 때문입니다. 반대로 된다고 판정한 ㉠과 ㉢은 손으로도 실제로 그려집니다.
핵심 정리
붓이 지나가는 점에서는 들어오는 선과 나가는 선, 이렇게 두 개를 한꺼번에 씁니다. 그러니 점마다 모인 선을 세어 보고, 홀수인 점이 두 곳을 넘지 않을 때에만 한붓그리기가 됩니다.
- 가장 작은 도형에서 규칙 찾기
- 숨은 교차점까지 빠짐없이 점 찍기
- ㉠ 세기: 대각선을 모두 그은 오각형
- ㉡ 세기: 정사각형 안의 정사각형과 이음선 두 개
- ㉢ 세기: 서로 겹친 원 세 개
- ㉣ 세기: 집 모양
- 가능하다고 판정한 두 도형을 실제로 그어 보기
이어서 풀어볼까요