문제
쌓기나무의 최대·최소 개수
쌓기나무로 쌓은 모양을 세 방향에서 본 그림이 주어집니다. 위에서 본 모양은 가로 4칸·세로 3칸 중 뒷줄 왼쪽 끝과 가운뎃줄 오른쪽 끝만 빈 모양입니다. 앞에서 본 높이는 2, 3, 1, 2이고 오른쪽 옆에서 본 높이는 앞에서부터 1, 3, 2입니다. 쌓기나무가 가장 많을 때의 개수를 구합니다.
사고력 · 초6-2 쌓기나무의 개수와 가짓수
내 답
조심 무작정 꽉 채우고 싶지만 채운 뒤에도 세 그림이 그대로인지 확인해야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 그림 세 장을 머릿속에 한꺼번에 담아 두기는 어렵습니다. 그래서 문제 전체를 그림 한 장으로 다시 그립니다. 위에서 본 모양을 그린 뒤, 열 아래에는 앞에서 본 모양의 수를, 줄 옆에는 오른쪽 옆에서 본 모양의 수를 적어 넣는 것입니다. 그러면 기둥 하나하나가 두 수가 만나는 자리에 놓이게 되어, 입체를 다루는 최댓값 문제가 서로 상관없는 작은 판단 열 개로 쪼개집니다. 각 기둥은 자기 자리에 걸린 두 수 중 작은 쪽을 가지면 됩니다. 입체를 머리로 굴리는 대신 그림 안에 수를 적어 넣는 방식은, 옆에서 본 모양의 앞뒤 방향을 헷갈리지 않게 잡아 주는 역할도 합니다.
1STEP 1
세 그림을 한 장에 몰아넣기
세 그림을 한 장에 몰아 그립니다.
위에서 본 모양의 가장자리에 앞과 옆의 수를 써 넣는 것은 자리 배치표의 가장자리에 번호를 매기는 것과 똑같습니다. 이렇게 해 두면 한 그림을 읽는 동안 다른 그림을 외우고 있을 필요가 없습니다.
K.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
기둥마다 두 개의 한계에 눌려 있다
기둥마다 두 한계 중 작은 값까지만 쌓을 수 있습니다.
min(1, 3) = 1
같은 물건에 두 사람이 각각 키 제한을 걸면 더 엄한 쪽이 이깁니다. 물건을 키 순서로 늘어놓을 때 하는 '더 작은 쪽 고르기'와 똑같은 비교입니다.
1.MD.A.1Visualize Spatial Relationships모든 기둥은 본 그림이 정한 바닥과 천장 사이에 갇히므로, 천장까지 채우면 가능한 최대 개수가 된다.
왜?
한 기둥은 자기가 나타나는 두 그림자 가운데 작은 쪽을 넘어설 수 없으므로, 그 두 한계가 위에서 눌러 준다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
천장을 넘는 채우기는 곧바로 지워지므로, 끝까지 채운 것만이 최댓값의 후보로 남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
3STEP 3
모든 칸을 천장까지 꽉 채우기
가장 많으려면 한계까지 꽉 채웁니다.
칸마다 자기만의 천장이 정해지고 나면 최댓값을 찾느라 이것저것 따져 볼 일이 없습니다. 그냥 칸마다 천장을 그대로 적으면 그만입니다.
1.MD.A.1Organize Information In More Ways4STEP 4
꽉 채운 그 배치가 정말 세 그림을 만들어 내는지 확인하기
그렇게 채워도 세 그림이 그대로입니다.
막대에 실제로 닿는지 확인하는 쪽이 잊기 쉬운 절반입니다. 바로 이 확인이 '15개를 넘을 수 없다'를 '15개가 실제로 가능하다'로 바꿔 줍니다.
1.MD.A.1Visualize Spatial Relationships5STEP 5
쌓기나무 세기
세어 보면 15개입니다.
5 + 6 + 4 = 15
한 줄씩 끊어서 더하면 수 열 개를 한 줄로 길게 늘어놓고 더하다가 하나쯤 흘리는 일을 막을 수 있습니다.
5.MD.C.5Identify Subproblems정답
15 개
5 + 6 + 4 = 15
답이 쌓기나무의 개수, 곧 자연수라는 점부터 문제가 요구하는 꼴에 맞고, 쉽게 잡히는 두 경계 사이에 들어와야 합니다. 색칠된 칸이 10개이고 저마다 적어도 1개가 필요하므로 이 세 그림을 만드는 어떤 모양도 10개보다 적게 쓸 수 없고, 어느 막대도 3칸을 넘지 않으므로 10 × 3 = 30개보다 많이 쓸 수도 없습니다. 15는 10과 30 사이에 넉넉히 들어오고, 앞줄 전체가 1로 눌려 있는 위에서 본 모양을 생각하면 낮은 쪽에 가까운 것도 자연스럽습니다. 또 하나 확인할 점이 있습니다. 그림 전체에서 자유롭게 고를 수 있는 칸은 딱 하나, 맨 뒤 줄 둘째 열의 칸뿐입니다. 이 칸의 천장은 2이지만 1로 낮춰도 세 그림이 그대로 유지됩니다. 나머지 아홉 칸은 값이 하나로 강제됩니다. 그러니 이 세 그림을 만드는 모양은 쌓기나무를 15개 쓰거나 14개 쓰는 두 가지뿐이고, 그중 큰 쪽이 15입니다.
핵심 정리
열 아래에는 앞에서 본 수를, 줄 옆에는 옆에서 본 수를 적고, 칸마다 두 수 중 작은 쪽만큼 쌓아 보세요. 그것이 세 그림이 허락하는 가장 꽉 찬 모양이랍니다!
- 세 그림을 한 장에 몰아넣기
- 기둥마다 두 개의 한계에 눌려 있다
- 모든 칸을 천장까지 꽉 채우기
- 꽉 채운 그 배치가 정말 세 그림을 만들어 내는지 확인하기
- 쌓기나무 세기