문제
회전체의 부피
가로 4 cm, 세로 2 cm인 직사각형을 회전축만 바꾸어 두 번 돌립니다. 가에서는 가로 변이, 나에서는 세로 변이 회전축입니다. 어느 쪽이든 원기둥이 생깁니다. 두 부피를 구하고 어느 쪽이 큰지 구합니다.
사고력 · 초6-2 입체도형의 부피
내 답
조심 같은 직사각형이니 부피도 같을 것 같지만 반지름이 두 번 곱해져 달라집니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 이 문제는 직사각형의 어느 변이 반지름이 되고 어느 변이 높이가 되는지를 가르는 데서 다 끝납니다. 그것만 정해지면 나머지는 원기둥 부피 공식을 두 번 쓰는 한 줄짜리 계산이니까요. 가장 확실하게 가르는 방법은 손으로 해 보는 것입니다. 종이로 직사각형을 오려 한 변을 연필에 붙이고 손바닥 사이에서 연필을 비벼 돌려 봅니다. 붙어 있는 변은 그 자리에 그대로 있으니 높이가 되고, 자유로운 변은 원을 그리며 도니 반지름이 됩니다. 두 그림에 이 방법을 한 번씩 써 보면 수를 적기 전에 두 원기둥이 눈앞에 또렷하게 그려집니다.
1STEP 1
가 - 반지름과 높이가 무엇인지 정하기
가는 반지름 2, 높이 4입니다.
가: (반지름) = 2 cm, (높이) = 4 cm
회전축에 닿아 있는 것은 움직일 수가 없으니 통의 한가운데를 지나는 선일 수밖에 없습니다. 원을 그리는 쪽은 반대편 변입니다.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships2STEP 2
나 - 반지름과 높이가 무엇인지 정하기
나는 반지름 4, 높이 2입니다.
나: (반지름) = 4 cm, (높이) = 2 cm
두 번 다 같은 직사각형이니, 회전축이 바뀌면 4와 2가 서로 역할을 맞바꿀 뿐입니다.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships3STEP 3
가의 부피
가의 부피는 50.24 cm³입니다.
2 × 2 × 3.14 × 4 = 12.56 × 4 = 50.24 cm³
cm에 cm를 곱하면 넓이가 되고, 거기에 높이 cm를 한 번 더 곱하면 부피가 됩니다. 단위가 식이 제대로 세워졌음을 확인해 줍니다.
8.G.C.9Analyze The Units4STEP 4
나의 부피
나의 부피는 100.48 cm³입니다.
4 × 4 × 3.14 × 2 = 50.24 × 2 = 100.48 cm³
공식은 그대로인데 이번에는 큰 수가 두 번 곱해지는 자리에 들어갔습니다. 두 번 곱하는 자리는 그냥 한 번 곱하는 자리보다 큰 수를 훨씬 후하게 대접합니다.
8.G.C.9Analyze The Units5STEP 5
두 부피 견주기
나가 가의 두 배입니다.
50.24 ＜ 100.48, 100.48 ÷ 50.24 = 2
원주율이 공통인수이니 결국 2 × 2 × 4와 4 × 4 × 2 중 어느 쪽이 큰지만 물으면 됩니다. 소수는 건드릴 필요도 없습니다.
6.RP.A.3Draw A Diagram6STEP 6
넓적한 통이 이기는 까닭
반지름이 두 번 곱해져 넓적한 쪽이 이깁니다.
(반지름) × (반지름) × (높이): 2 × 2 × 4 = 16 vs 4 × 4 × 2 = 32
규칙으로 기억해 둘 만합니다. 직사각형을 돌려 가장 큰 회전체를 얻고 싶으면 짧은 변을 회전축에 놓으세요.
8.G.C.9Visualize Spatial Relationships넓은 통이 이기는데, 밑면을 넓히면 두 번 세어지지만 높이를 올리면 한 번만 세어지기 때문이다.
왜?
부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이므로, 밑면은 넓이로 들어오고 높이는 하나의 길이로 들어온다.
🧱각기둥은 밑면을 쌓아 올린 것각기둥은 하나의 평평한 면이 끝까지 반복된 것이므로, 부피는 밑넓이에 높이를 곱한 것이다.
왜?
반지름을 두 배로 하면 밑넓이가 네 배가 되지만, 높이를 두 배로 하면 부피는 두 배가 될 뿐이다.
🧱비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
정답
나
50.24, 100.48
두 답 모두 cm³ 단위이니 부피로 맞고, 크기도 수십 cm³ 정도입니다. 작은 약컵 하나쯤 되는 크기이니 가로 4 cm, 세로 2 cm짜리 직사각형에서 나온 값으로 그럴듯합니다. 비를 따져 보는 것이 가장 든든한 검산입니다. 두 부피는 4를 두 번 곱하느냐 2를 두 번 곱하느냐만 다르므로 나는 가의 (4 × 4 × 2)/(2 × 2 × 4) = 32/16 = 2배여야 하는데, 100.48은 정말 50.24의 꼭 두 배입니다. 상식으로 보아도 넓적한 통이 더 넉넉합니다. 가는 길이가 4 cm인데 지름도 4 cm뿐인 통이고, 나는 지름이 8 cm나 되는 통이니까요. 원을 넓히는 쪽이 두 번 몫을 챙깁니다.
핵심 정리
직사각형을 짧은 변을 회전축으로 하여 돌리면 더 큰 회전체가 생깁니다. 반지름은 두 번 곱해지고 높이는 한 번만 곱해지니까요.
- 가 - 반지름과 높이가 무엇인지 정하기
- 나 - 반지름과 높이가 무엇인지 정하기
- 가의 부피
- 나의 부피
- 두 부피 견주기
- 넓적한 통이 이기는 까닭