문제
조건 분석 (2)
다섯 종류의 물고기를 여러 어항에 나누어 넣습니다. 둘 중 하나가 다른 하나를 잡아먹으면 같은 어항에 둘 수 없습니다. 다섯 종류를 모두 넣어야 합니다. 어항이 적어도 몇 개 필요한지 구합니다.
사고력 · 초6-1 연역적 논리 (1)
내 답
조심 배치 하나를 찾으면 끝난 것 같지만 더 적게는 안 된다는 것도 보여야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — '누가 누구를 잡아먹는다'는 문장 여섯 개를 한꺼번에 머릿속에 담기는 어렵습니다. 그래서 먼저 보는 방식을 바꿉니다. 같은 어항에 넣을 수 있는지만 따진다면 'B가 C를 잡아먹는다'와 'C가 B를 잡아먹는다'는 결과가 같으므로, 화살표를 버리고 부딪치는 짝만 남깁니다. 그러면 글이 작은 그림 하나로 바뀝니다. 물고기 종류마다 점을 하나씩 찍고, 같이 둘 수 없는 두 점을 선으로 잇는 그림입니다. 그다음에는 위험한 짝을 세는 것보다 안전한 짝, 곧 선이 그어지지 않은 자리를 찾는 편이 훨씬 빠르니 관점을 뒤집습니다. 이 그림 한 장이 문제의 두 가지 물음에 다 답해 줍니다. 서로 모두 선으로 이어진 점 무리는 어항이 적어도 몇 개 필요한지를 말해 주고, 점을 나누어 칠하는 방법은 그 개수로 실제 되는 배치를 보여 줍니다.
1STEP 1
'잡아먹는다'를 모두 '부딪치는 짝'으로 바꾸기
잡아먹는 관계를 모두 부딪치는 짝으로 적습니다.
A--B, A--C, A--D, A--E, B--C, B--D, C--D, D--E
여덟 개의 말을 '이 둘은 같이 못 둔다'로 갈라 놓는 일은 분류하고 세는 일 그 자체입니다. 화살표를 버려도 되는 까닭은, 어항 규칙이 잡아먹는 쪽과 잡아먹히는 쪽을 똑같이 다루기 때문입니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List2STEP 2
관점을 뒤집어 안전한 짝 찾기
안전한 짝은 두 쌍뿐입니다.
10 - 8 = 2 (안전한 짝: B--E, C--E)
위험한 짝보다 안전한 짝이 훨씬 적으니, 안 되는 것을 적기보다 되는 것을 적는 편이 일이 짧습니다. 게다가 어항을 함께 쓰게 해 주는 것은 바로 이 안전한 짝입니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement3STEP 3
그림 그리기
점과 선으로 그림을 그려 봅니다.
점을 찍고 선분으로 잇는 일은 초등에서 이미 하는 일인데, 그림이 대신 기억해 줍니다. 한 점에서 나가는 선의 개수는 그림에서 바로 보이지만, 같은 사실이 문장 여섯 개 속에 묻혀 있으면 보이지 않습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram4STEP 4
3개로는 안 되는 이유: 서로 모두 잡아먹는 네 마리
서로 모두 부딪치는 네 마리가 있습니다.
{A, B, C, D} 안의 짝 6 개가 모두 부딪침 → 어항은 적어도 4 개
이것이 이리저리 넣어 보는 것만으로는 절대 얻을 수 없는 절반입니다. 배치를 아무리 많이 시도해도 '3개로는 안 된다'는 나오지 않지만, 서로 모두 잡아먹는 네 마리를 하나 보여 주면 3개짜리 배치는 영원히 사라집니다. 그 넷만으로 이미 어항 네 개가 차기 때문입니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities서로 모두 부딪치는 물고기 네 마리가 있으면 어떻게 배치하든 수조가 적어도 넷은 있어야 한다.
왜?
그 넷 가운데 어느 둘도 수조를 함께 쓸 수 없으므로, 수조 셋으로는 넷을 하나씩 담을 수 없다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
그 네 마리 무리를 보이는 것만으로 수조 셋이면 된다는 어떤 주장도 무너뜨릴 수 있으며, 모든 배치를 확인할 필요가 없다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
5STEP 5
4개로는 되는 이유: 실제 배치 만들기
그래서 어항이 4개보다 적을 수 없습니다.
{B, E} ∣ {A} ∣ {C} ∣ {D}
다섯 마리를 이름 붙인 상자 네 개에 나누어 담고 상자마다 확인하는 일은 분류하고 세는 일 그대로입니다. 손이 가는 곳은 한 마리보다 많이 든 상자 하나뿐입니다.
K.MD.B.3Make A Systematic List6STEP 6
두 이야기를 합치고, 다른 배치도 짚어 두기
실제로 4개로 나눌 수 있어 답은 4개입니다.
적어도 4 개 + 4 개면 충분 → 최소 = 4
'가장 적은 수'를 묻는 문제의 답에는 늘 두 이야기가 함께 있어야 합니다. 되는 배치 하나와, 그보다 적으면 안 되는 이유 하나입니다. 여기서는 두 이야기가 같은 수에서 만나므로 답이 확정됩니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities정답
4 개
10 − 8 = 2
답은 1과 5 사이여야 합니다. 어항 5개(한 마리씩)면 언제나 되고 1개로는 될 리가 없기 때문인데, 4는 그 사이에 알맞게 놓입니다. 5일 수는 없습니다. 앞에서 든 배치가 B와 E를 실제로 한 어항에 넣기 때문입니다. 3일 수도 없습니다. A, B, C, D의 여섯 짝이 모두 부딪쳐서 넷만으로 어항 네 개를 차지하기 때문입니다. 뽑아 놓은 배치를 부딪치는 여덟 짝에 하나씩 대어 보면 A-B, A-C, A-D, A-E, B-C, B-D, C-D, D-E 모두 두 마리가 서로 다른 어항에 있으므로 잡아먹히는 물고기가 없습니다. 답의 생김새도 짚어 둘 만합니다. 안전한 짝을 둘 가진 물고기는 E뿐인데, 그래서 어항을 함께 쓰는 물고기도 E뿐입니다.
핵심 정리
서로 모두 잡아먹는 물고기 네 마리는 어항 네 개를 차지해요. 되는 배치 하나와, 그보다 적으면 안 되는 이유 하나를 함께 보여 주어야 '최소'가 된답니다.
- '잡아먹는다'를 모두 '부딪치는 짝'으로 바꾸기
- 관점을 뒤집어 안전한 짝 찾기
- 그림 그리기
- 3개로는 안 되는 이유: 서로 모두 잡아먹는 네 마리
- 4개로는 되는 이유: 실제 배치 만들기
- 두 이야기를 합치고, 다른 배치도 짚어 두기
이어서 풀어볼까요