픽의 정리

넓이를 단위 정사각형의 개수로 재는 것이 3학년에서 배우는 생각입니다. 점판은 그 단위 정사각형을 이미 다 그려서 건네주므로, 자로 길이를 잴 일이 한 번도 없습니다.

한 방향으로 둘레를 돌면서 꼭짓점만 보지 말고 변마다 훑어야 합니다. 긴 변 한가운데 놓인 점을 놓치지 않는 방법이 바로 이것입니다.

점판 위의 다각형은 어떤 것이든 두 변이 격자선과 나란한 직사각형과 직각삼각형으로 잘라 낼 수 있습니다. 그 조각들의 넓이는 곱하고 반으로 나누기만 하면 나옵니다.

들어가는 수가 1씩 늘 때 나오는 수가 늘 같은 만큼(0.5씩) 늘면, 규칙은 반으로 나눈 뒤 얼마만큼 옮기는 꼴입니다. 얼마를 옮기는지는 한 줄만 보면 알아낼 수 있고, 나머지 줄은 확인용입니다.

두 가지 개수를 표의 서로 다른 줄에 따로 적어 두고, 헷갈리는 점마다 변 위에 있는지 안쪽에 있는지를 하나씩 결정하는 것이 여기서 제일 어려운 대목입니다. 비스듬한 변 위에 얹힌 점은 안쪽 점으로 잘못 세기 쉽습니다.

상자에서 모퉁이를 빼는 방법은 점판 위의 기울어진 도형이라면 무엇에나 통합니다. 떼어 내는 모퉁이가 언제나 두 변이 격자선을 따라 놓인 직각삼각형이기 때문입니다.

표의 한쪽 줄을 붙들어 두고 다른 쪽 줄만 움직여 보는 것이, 그 두 번째 양이 혼자서 무슨 일을 하는지 알아내는 가장 깔끔한 방법입니다.

두세 줄만 보고 찾아낸 규칙은 아직 짐작일 뿐입니다. 두 표의 모든 줄에 넣어 확인해야 믿을 수 있는 답이 됩니다.