떨어진 높이의 분수만큼을 분모로 나누는 것에 분자를 곱한 값이다.

3.NF.A.13.OA.A.2 · take · 학년 3

아키타입: Track a Quantity Through Changes · 7단계 진행 중

떨어진 높이의 $\frac{2}{5}$ 만큼 튀어 오르는 공이 있습니다. 이 공을 $150\ \text{m}$ 의 높이에서 떨어뜨린다면 두 번째로 튀어 오를 때까지 공이 움직인 거리는 모두 몇 $\text{m}$ 입니까?

풀이 보기

이해

공을 $150\ \text{m}$ 높이에서 떨어뜨립니다. 공은 튀어 오를 때마다 방금 떨어진 높이의 $\frac{2}{5}$ 만큼 다시 올라갑니다. 처음 떨어뜨린 순간부터 두 번째로 튀어 올라 가장 높은 곳에 이르는 순간까지 공이 움직인 거리(내려간 거리와 올라간 거리)를 모두 구해야 합니다.

주어진 것

공은 떨어진 높이의 $\frac{2}{5}$ 만큼 튀어 오릅니다.
$150\ \text{m}$ 높이에서 떨어뜨립니다.
두 번째로 튀어 오를 때까지의 움직임을 따라갑니다.

구할 것

두 번째로 튀어 오를 때까지 움직인 전체 거리(m).

조건

거리는 모든 내려감과 올라감을 양의 길이로 모두 더한 것입니다.
두 번째로 튀어 오를 때까지의 경로는 첫 번째 내려감, 첫 번째 올라감, 두 번째 내려감, 두 번째 올라감입니다.

계획

#1 그림 그리기 · 함께 쓰는 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

오르내리는 경로를 그려 보면 어느 구간을 더해야 하는지가 분명해집니다. 각 튀어 오른 높이는 '어떤 수의 분수'를 구하는 작은 문제(5로 나누고 2를 곱하기)이고, 답은 네 구간의 합입니다.

실행

#1 그림 그리기 3.NF.A.1

공은 처음 시작 높이인

150\ \text{m}

전체만큼 떨어집니다.

150\ \text{m}

첫 번째 구간은 공을 떨어뜨린 높이 그 자체입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NF.A.1

150\ \text{m}

의

\frac{2}{5}

만큼 튀어 오릅니다.

150

의

\frac{1}{5}

을 구하려면 5로 나누고, 그다음 2를 곱합니다.

150 \div 5 = 30,\quad 30 \times 2 = 60

어떤 수의 분수만큼은 똑같은 부분으로 나눈 다음 그 부분을 그만큼 가져오는 것입니다.

#1 그림 그리기 3.OA.A.2

공은 첫 번째로 튀어 오른 높이에서 다시 떨어지므로, 올라간

60\ \text{m}

만큼 그대로 내려옵니다.

60\ \text{m}

어느 높이까지 올라가든, 그 높이만큼 그대로 곧장 다시 떨어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NF.A.1

방금 떨어진

60\ \text{m}

의

\frac{2}{5}

만큼 튀어 오릅니다.

60

을 5로 나누고 2를 곱합니다.

60 \div 5 = 12,\quad 12 \times 2 = 24

더 작아진 새 떨어진 높이에 같은 분수 규칙을 똑같이 적용합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.2

전체 거리는 첫 번째 내려감, 첫 번째 올라감, 두 번째 내려감, 두 번째 올라감을 모두 더한 것입니다.

150 + 60 + 60 + 24 = 294

전체 경로의 길이는 오르내리는 모든 구간을 더한 것일 뿐입니다.

답: 294 m

검토

튀어 오르는 높이가 점점 작아지는데( $150, 60, 24$ ), 이는 높이를 잃어 가는 공과 잘 맞습니다. 전체 $294\ \text{m}$ 는 떨어뜨린 높이의 2배보다 조금 작은데, 공이 $150$ 만큼 내려간 다음 더 짧은 오르내림을 두 번 하므로 자연스럽습니다. 단위는 내내 m로 유지됩니다.

패턴 찾기(도구 5): 튀어 오르는 높이는 매번 $\frac{2}{5}$ 배로 줄어듭니다( $150, 60, 24, \cdots$ ). 두 번째로 튀어 오를 때까지의 내려감과 올라감 구간을 적어 더하면 똑같이 $294\ \text{m}$ 가 나옵니다.

기준 · 최소 학년 3

3.NF.A.1 Understand a fraction as quantity formed by parts of a whole — 각 떨어진 높이를 5등분하여 2부분을 가져옴으로써 $\frac{2}{5}$를 구하는 데 활용
3.OA.A.2 Interpret whole-number quotients of whole numbers — 높이를 5로 나누고 경로의 네 구간을 더하는 데 활용

💡 3학년 분수 감각만 있으면 충분해요. 5로 나눠 2부분을 가져오고, 오르내린 거리를 모두 더하면 돼요!