도형의 둘레는 그 모양의 변으로 알 수 있다.

3.MD.D.84.MD.A.3 · adapt · 학년 4

아키타입: Perimeter by Tracing Every Side · 11단계 진행 중

가로가 $9\,\text{cm}$ , 세로가 $6\,\text{cm}$ 인 직사각형 $4$ 개로 다음과 같은 도형을 만들었습니다. 이 도형의 둘레는 몇 $\text{cm}$ 입니까?

그림 설명: 똑같은 직사각형(가로 $9\,\text{cm}$ , 세로 $6\,\text{cm}$ ) 네 개를 변끼리 맞붙여 만든 계단 모양의 도형이다. 위쪽 줄에는 직사각형 $3$ 개가 가로로 나란히 이어져 있고, 그 줄의 가장 왼쪽 직사각형 아래에 직사각형 $1$ 개가 더 붙어 있다. 직사각형 하나의 가로 변에 $9\,\text{cm}$ , 세로 변에 $6\,\text{cm}$ 가 표시되어 있다.

풀이 보기

이해

가로 9 cm, 세로 6 cm인 똑같은 직사각형 4개를 변끼리 맞붙여 계단 모양으로 만들었습니다. 위쪽 줄에는 직사각형 3개가 가로로 나란히 놓여 있고, 그 줄의 가장 왼쪽 직사각형 바로 아래에 직사각형 1개가 더 붙어 있습니다. 이 도형 전체의 둘레가 몇 cm인지 구하는 문제입니다.

주어진 것

직사각형 하나는 가로가 9 cm, 세로가 6 cm입니다.
위쪽 줄에는 직사각형 3개가 가로로 나란히 이어져 있습니다.
네 번째 직사각형은 위쪽 줄의 가장 왼쪽 직사각형 아래에 붙어 있습니다.

구할 것

계단 모양 도형 전체의 둘레.

조건

직사각형들은 빈틈이나 겹침 없이 변끼리 딱 맞붙어 있습니다.
모든 길이는 9 cm와 6 cm의 배수로 나타납니다.

계획

#1 그림 그리기 · 함께 쓰는 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도형을 모눈 위에 그려 보면 바깥쪽 변을 순서대로 하나씩 따라가며 길이를 잴 수 있습니다. 둘레를 가로 변들과 세로 변들로 따로 나누어(작은 문제로 쪼개기) 더하면 어떤 변도 빠뜨리거나 두 번 세지 않고 깔끔하게 정리할 수 있습니다.

실행

#1 그림 그리기 4.MD.A.3

도형의 왼쪽 위 꼭짓점을 원점에 놓습니다. 위쪽 줄은 가로로 9의 3배인 27 cm만큼 펼쳐지고 아래로 6 cm 내려갑니다. 네 번째 직사각형은 가장 왼쪽 칸 아래에 붙어 가로 9 cm를 차지하고 아래로 6 cm 더 내려가므로, 왼쪽 칸은 위에서 아래까지 12 cm가 됩니다.

3 \times 9 = 27\text{ cm (위쪽 가로)}, \quad 2 \times 6 = 12\text{ cm (왼쪽 세로)}

그림을 모눈 위에 옮기면 '계단' 모양이 잴 수 있는 곧은 변들로 또렷하게 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2

둘레를 따라 돌면서 가로로 놓인 변들을 모읍니다. 맨 위 변 전체(27 cm), 위쪽 줄의 아래쪽이 아래 직사각형보다 튀어나온 계단 부분(27 - 9 = 18 cm), 그리고 아래 직사각형의 맨 아래 변(9 cm)입니다.

27 + 18 + 9 = 54

3학년 덧셈입니다. 윤곽선에서 가로로 놓인 변들을 모두 더하면 54 cm입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2

이번에는 세로로 놓인 변들을 모읍니다. 위쪽 줄의 오른쪽 변(6 cm), 계단에서 짧게 내려오는 변(6 cm), 그리고 왼쪽의 긴 변(12 cm)입니다.

6 + 6 + 12 = 24

3학년 덧셈입니다. 윤곽선에서 세로로 놓인 변들을 모두 더하면 24 cm입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.D.8

가로 변들의 합과 세로 변들의 합을 더하면 도형의 둘레, 곧 바깥쪽을 한 바퀴 도는 전체 길이가 나옵니다.

54 + 24 = 78

둘레는 가장자리를 한 바퀴 빙 도는 거리입니다. 가로 54 cm에 세로 24 cm를 더하면 78 cm입니다.

답: 78 cm

검토

가로 9 cm, 세로 6 cm인 직사각형 한 개의 둘레는 30 cm이고, 네 개를 따로 두면 둘레는 모두 120 cm입니다. 하지만 변끼리 맞붙이면 맞닿은 변들이 둘레에서 사라집니다. 우리가 구한 78 cm는 120 cm보다 충분히 작고 한 개의 둘레 30 cm보다는 훨씬 크므로, 직사각형 네 개로 만든 계단 모양의 둘레로 크기가 알맞습니다.

도형을 가로 27 cm·세로 6 cm인 위쪽 막대와 가로 9 cm·세로 6 cm인 아래쪽 조각으로 나누어 봅니다. 두 도형의 둘레는 각각 66 cm와 30 cm이고, 맞닿은 9 cm 변은 양쪽에서 한 번씩 사라지므로 그 두 배(2 × 9 = 18 cm)를 빼면 됩니다. 66 + 30 - 18 = 78 cm.

기준 · 최소 학년 4

4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems — 직사각형의 길이를 따져 보고 모눈 위에서 합쳐진 도형의 윤곽을 잡는 데 사용했습니다.
3.NBT.A.2 Fluently add and subtract within 1000 — 가로 변들과 세로 변들의 길이를 더하는 데 사용했습니다.
3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons — 바깥쪽 변을 모두 모아 전체 둘레를 구하는 데 사용했습니다.

💡 윤곽선을 한 바퀴 따라가며 변을 하나씩 더해 보면, 이 계단 모양의 둘레는 78 cm입니다!