문제
회전체
평면도형을 한 직선을 축으로 하여 한 바퀴 돌립니다. (1)은 긴 변이 회전축 위에 놓인 직각사다리꼴이 주어집니다. (2)는 굵은 원기둥 아래에 가는 원기둥이 이어지고 축을 따라 구멍이 뚫린 회전체가 주어집니다. 두 물음의 그림을 각각 그립니다.
사고력 · 초6-2 회전체와 단면
내 답
조심 잘린 면 전체가 원래 도형 같지만 실제로는 그 절반입니다.
풀이 과정
전략 공간 상상하기 — 이 단원 전체가 그림 한 장에 기대고 있습니다. 점 하나를 돌리면 회전축에서 떨어진 거리를 반지름으로 하는 원이 그려진다는 것, 그래서 높이마다 평면도형이 회전축에서 얼마나 떨어져 있는지가 곧 그 높이에서 회전체의 반지름이 된다는 것입니다. (1)은 이미 답을 아는 조각으로 쪼갭니다. 직사각형은 원기둥이 되고, 한 변이 회전축에 놓인 직각삼각형은 원뿔이 되니 결과를 위아래로 쌓기만 하면 됩니다. (2)는 같은 기계를 거꾸로 돌립니다. 주어진 회전체를 회전축을 지나는 평면으로 곧게 자른 다음, 그 단면의 회전축 한쪽 절반을 보면 그것이 바로 돌리기 전의 평면도형입니다.
1STEP 1
두 문제를 관통하는 규칙 하나
회전축에서의 거리가 곧 반지름이 됩니다.
결국 원의 정의를 다시 쓰는 셈입니다. 한 점에서 거리가 같은 점들이 원을 이루니까요. 회전은 '회전축에서 떨어진 거리'를 '반지름'으로 바꿔 놓고, 그래서 회전체는 위에서 내려다보면 언제나 둥급니다.
7.G.B.4Visualize Spatial Relationships도형의 모든 점은 축에서 떨어진 거리를 반지름으로 하는 원을 그린다.
왜?
돌리기는 점을 한 바퀴 내내 축에서 같은 거리에 두며, 그것이 바로 원이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
도형의 각 높이가 너비를 하나씩 주므로, 높이마다 너비를 읽으면 그 입체가 완전히 설명된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
(1) 이미 아는 두 조각으로 사다리꼴 쪼개기
사다리꼴을 직사각형과 직각삼각형으로 쪼갭니다.
직각사다리꼴은 직사각형에 직각삼각형을 붙여 놓은 도형입니다. 짧은 변이 끝나는 높이에서 자르는 것이 둘을 갈라놓는 방법입니다.
4.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
(1) 직사각형은 원기둥을 만든다
직사각형은 원기둥을 만듭니다.
직사각형을 한 변을 축으로 돌리면 원기둥이 된다는 것은 회전체의 가장 기본 그림입니다. 종이를 연필에 붙여 비비듯 돌려 보면 바로 보입니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships4STEP 4
(1) 직각삼각형은 원뿔을 만든다
직각삼각형은 원뿔을 만듭니다.
직각삼각형을 세로 변을 축으로 돌리면 원뿔이 된다는 것도 기본 그림입니다. 빗변은 옆면이 되고 위쪽 꼭짓점은 원뿔의 꼭짓점이 됩니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships5STEP 5
(1) 완성된 회전체 그리기
둘을 얹으면 원기둥 위에 원뿔입니다.
보이지 않는 모서리를 점선으로 그리는 것은 입체도형을 나타내는 약속입니다. 그래야 원뿔과 원기둥이 만나는 자리가 온전한 원이라는 것이 읽는 사람에게 전달됩니다.
4.G.A.1Draw A Diagram6STEP 6
(2) 회전축을 지나게 잘라서 거꾸로 풀기
(2)는 회전축을 지나게 잘라 봅니다.
회전체를 회전축을 따라 자르는 것은 회전을 되돌리는 일입니다. 회전축이 단면의 대칭축이 되므로 절반만 떼어 내면 처음의 평면도형이 되살아납니다.
7.G.A.3Work Backwards7STEP 7
(2) 높이별로 폭을 읽어 내기
높이마다 폭을 읽어 적습니다.
평면도형을 회전축에서 밀어내는 것이 바로 구멍입니다. 회전체 한가운데의 빈 관은 평면도형과 회전축 사이에 벌어진 틈 그 자체입니다.
7.G.A.3Identify Subproblems8STEP 8
(2) 평면도형 그리기
그 절반이 원래 평면도형입니다.
잘라 놓은 회전체에서 회전축은 거울선 노릇을 합니다. 그래서 한쪽만 그려도 답이 됩니다. 나머지 절반과 그 사이는 회전이 알아서 채워 줍니다.
4.G.A.3Draw A Diagram9STEP 9
다시 돌려 보며 검산하기
다시 돌려 보면 같은 입체가 나옵니다.
평면도형의 변 하나를 회전체의 면 하나에 짝지어 보는 것이 가장 믿을 만한 검산입니다. 변이 모자라거나 남으면 면이 모자라거나 남는 것으로 곧바로 드러나기 때문입니다.
7.G.A.3Visualize Spatial Relationships정답
원기둥 위에 원뿔, 직각사다리꼴의 절반
두 답 모두 면의 개수를 세어 확인할 수 있습니다. (1)의 평면도형은 변이 네 개이고 회전체의 면도 네 곳입니다. 평평한 밑면 원판, 원기둥의 굽은 옆면, 원뿔의 굽은 옆면, 그리고 꼭짓점 하나가 각각 아래 변, 왼쪽 변, 비스듬한 위 변에 대응하고, 회전축 위에 놓인 변은 아무 면도 만들지 않은 채 입체 속의 중심선이 될 뿐입니다. (2)의 ㄱ자 도형은 변이 여섯 개이고 회전체의 면도 여섯 곳입니다. 넓은 고리 모양 윗면, 넓은 원기둥의 옆면, 튀어나온 고리 모양 턱, 좁은 원기둥의 옆면, 고리 모양 밑면, 구멍의 안쪽 옆면으로 여섯 대 여섯입니다. 만약 (2)에서 평면도형을 회전축에 딱 붙여 그렸다면 구멍이 없는 입체가 되어 면이 다섯 곳뿐이고, 주어진 그림과 맞지 않습니다. 여기서는 재는 값이 없으니 확인할 단위도 없습니다. 답은 그림 자체입니다.
핵심 정리
회전은 '회전축에서 얼마나 떨어져 있나'를 '입체가 얼마나 굵은가'로 바꿔 줍니다. 회전축에 닿은 부분은 속이 꽉 차고, 떨어져 있는 부분은 구멍을 남깁니다.
- 두 문제를 관통하는 규칙 하나
- (1) 이미 아는 두 조각으로 사다리꼴 쪼개기
- (1) 직사각형은 원기둥을 만든다
- (1) 직각삼각형은 원뿔을 만든다
- (1) 완성된 회전체 그리기
- (2) 회전축을 지나게 잘라서 거꾸로 풀기
- (2) 높이별로 폭을 읽어 내기
- (2) 평면도형 그리기
- 다시 돌려 보며 검산하기