문제
직육면체의 전개도 둘레의 최대·최소
가로 3 cm, 세로 1 cm, 높이 2 cm인 직육면체가 있습니다. (1)에는 서로 다른 전개도 3개가 그려져 있습니다. (2)는 같은 직육면체의 전개도를 새로 그립니다. 세 전개도의 둘레와 가장 짧은 둘레를 구합니다.
사고력 · 초5-2 직육면체
내 답
조심 접는 선이 길이만큼 줄일 것 같지만 양쪽 변이 사라져 두 배만큼 줄어듭니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 계단 모양 전개도의 둘레를 한 칸씩 세어 가며 돌아도 답은 나옵니다. 그러나 느리고, 꺾이는 곳에서 한 칸 빠뜨리기 쉽고, 무엇보다 (2)에서 어떤 전개도가 좋은지는 전혀 알려 주지 않습니다. 그래서 둘레를 두 조각으로 쪼개어 봅니다. 여섯 면이 아직 따로 떨어져 있을 때의 둘레의 합에서 출발해, 두 면이 붙을 때마다 줄어드는 만큼을 빼는 것입니다. 그러면 문제 전체가 훨씬 작은 질문 하나로 바뀝니다. 어느 모서리 5개를 접는 선으로 남길 것인가 하는 질문입니다. 이렇게 바꾸어 놓으면 둘레를 짧게 만드는 일은 그저 긴 모서리를 접는 선으로 고르는 일이 됩니다. 그다음에는 모서리 12개를 길이별로 늘어놓아 어떤 선택이 실제로 가능한지 살피고, 그린 전개도의 둘레를 직접 따라 세고 종이로 접어 보며 답을 확인합니다.
1STEP 1
따로 떨어진 여섯 면의 둘레를 모두 더하기
떨어진 여섯 면의 둘레를 더하면 48 cm입니다.
2 × 10 + 2 × 8 + 2 × 6 = 20 + 16 + 12 = 48 cm
직사각형 여섯 개의 둘레를 하나씩 더하는 것은 초등 과정의 평범한 둘레 계산인데, 그 결과가 전개도 모양이 아무리 바뀌어도 흔들리지 않는 출발점이 되어 줍니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems2STEP 2
접는 선 하나가 얼마를 줄이는지 보기
접는 선 하나는 그 길이의 두 배를 줄입니다.
(전개도의 둘레) = 48 - 2 × (접는 선의 길이의 합)
이음매 하나마다 변이 하나가 아니라 둘이 전개도 안쪽으로 숨습니다. 이 두 배가 바로 긴 접는 선이 그토록 값진 이유입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems각 접는 선은 전개도의 둘레에서 모서리 길이 두 개를 없애는데, 두 면의 변을 하나씩 감추기 때문이다.
왜?
접는 선은 두 면에 동시에 속해 양쪽에서 한 번씩 세어지므로, 이을 때마다 경계에서 두 변이 사라진다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
전개도의 둘레는 모든 면의 변을 합친 것에서 접는 선이 감춘 것을 덜어낸 것이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
어떤 전개도든 접는 선이 5개임을 확인하기
어떤 전개도든 접는 선은 5개입니다.
6 개의 면 → 6 - 1 = 5 개의 접는 선, 12 - 5 = 7 번의 자름
실제로 과자 상자를 갈라 펼쳐 보면 늘 같은 횟수만큼 자르게 됩니다. 여섯 개를 한 줄로 잇는 데에는 연결이 다섯 개 필요하고, 줄의 모양이 어떻든 그 수는 변하지 않기 때문입니다.
6.G.A.4Create A Physical Representation4STEP 4
첫째 전개도의 접는 선 5개 읽기
첫째 전개도의 둘레는 28 cm입니다.
2+1+3+3+1 = 10, 48 - 2 × 10 = 28 cm
점선은 이미 그려져 있으니 수 다섯 개를 읽어 더하기만 하면 됩니다. 계단 모양 테두리를 서른 걸음 넘게 세는 것보다 훨씬 안전합니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List5STEP 5
둘째 전개도와 셋째 전개도
둘째와 셋째는 24 cm와 26 cm입니다.
3+3+3+2+1 = 12 → 48 - 24 = 24 cm; 3+2+2+3+1 = 11 → 48 - 22 = 26 cm
같은 직육면체의 전개도 셋이 서로 다른 둘레를 갖는다는 것이 이 문제의 핵심입니다. 면은 정해져 있지만 그중 얼마만큼이 안쪽으로 숨느냐는 정해져 있지 않습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
"둘레가 가장 짧다"를 모서리 고르기 문제로 바꾸기
둘레를 줄이려면 접는 선을 가장 길게 잡습니다.
(둘레가 가장 짧다) ⇔ (접는 선의 길이의 합이 가장 크다)
어려운 그리기 문제를 쉬운 고르기 문제로 바꿔치기한 것이 진짜 한 수입니다. 여섯 면의 둘레의 합 48 cm가 어떤 전개도에서나 똑같기 때문에 가능한 일입니다.
6.G.A.4Identify Subproblems7STEP 7
모서리 12개를 늘어놓고 접는 선이 될 수 있는 다섯 개 찾기
접는 선의 길이는 많아야 13 cm입니다.
3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 13 cm (접는 선 길이의 합의 최댓값)
모서리 12개를 길이별로 4개씩 세 무리로 갈라 놓으면 각 길이가 어떤 면끼리 이을 수 있는지 한눈에 보입니다. 그리고 긴 것 넷을 모두 가져가려는 욕심을 막는 것이 바로 고리 금지 규칙입니다.
6.G.A.4Make A Systematic List8STEP 8
가장 짧은 둘레를 구하고 그런 전개도 그리기
그러면 가장 짧은 둘레는 22 cm입니다.
48 - 2 × 13 = 48 - 26 = 22 cm
가장 큰 면 넷을 띠로 만들어 직육면체를 한 바퀴 두르는 것이 3 cm짜리 모서리 세 개를 통째로 전개도 안쪽에 숨기는 방법입니다. 남은 작은 면 둘은 쓸 수 있는 가장 긴 변으로 끼워 넣습니다.
6.G.A.4Draw A Diagram9STEP 9
그린 전개도의 둘레를 따라 세어 확인하기
그린 전개도를 따라 세어도 22 cm입니다.
12 + 10 = 22 cm
이 전개도에는 옆으로 파인 홈이 없어서 테두리를 바깥의 가로 6 cm, 세로 5 cm인 직사각형까지 밀어내도 길이가 변하지 않습니다. 해 볼 만한 검산이지만 모든 전개도에 그대로 쓰면 안 됩니다. 홈이 파인 전개도는 둘레가 바깥 직사각형보다 길어지기 때문입니다.
3.MD.D.8Create A Physical Representation정답
28, 24, 26 / 22 cm
48 − 2 × 13 = 22
네 답이 모두 짝수입니다. 둘레가 48에서 무언가의 두 배를 뺀 값이니 당연히 그래야 합니다. 값의 범위도 알맞습니다. 접는 선 길이의 합은 많아야 13 cm이므로 어떤 전개도도 22 cm보다 짧을 수 없는데, 주어진 세 전개도의 28 cm, 24 cm, 26 cm는 모두 그보다 깁니다. 22 cm라는 답은 서로 다른 두 방법으로 얻었습니다. 하나는 48-2 × 13이라는 식이고, 다른 하나는 그린 전개도의 테두리를 따라 세어 (6+5) × 2가 나온 것인데 둘 다 22입니다. 전체 크기도 그럴듯합니다. 여섯 면이 따로 있을 때 둘레의 합이 48 cm인데 가장 좋은 전개도는 그중 절반이 넘는 길이를 접는 선으로 안쪽에 숨긴 셈이고, 이는 빈틈없이 감싸 놓아 바깥으로 드러난 변이 얼마 없는 모양과 잘 맞습니다.
핵심 정리
전개도의 둘레는 늘 48 cm에서 접는 선 길이의 두 배를 뺀 값이에요. 그러니 가장 긴 모서리를 접는 선으로 남길수록 둘레가 짧아집니다!
- 따로 떨어진 여섯 면의 둘레를 모두 더하기
- 접는 선 하나가 얼마를 줄이는지 보기
- 어떤 전개도든 접는 선이 5개임을 확인하기
- 첫째 전개도의 접는 선 5개 읽기
- 둘째 전개도와 셋째 전개도
- "둘레가 가장 짧다"를 모서리 고르기 문제로 바꾸기
- 모서리 12개를 늘어놓고 접는 선이 될 수 있는 다섯 개 찾기
- 가장 짧은 둘레를 구하고 그런 전개도 그리기
- 그린 전개도의 둘레를 따라 세어 확인하기