조각을 하나씩 늘려가며 만들 수 있는 모양의 개수를 구한다.

4.G.A.2 · take · 학년 4

아키타입: Tile and Cut Figures with Congruent Pieces · 5단계 진행 중

네 변의 길이가 같은 평행사변형(마름모) 모양 조각 $3$ 개를 사용하여 만들 수 있는 모양은 모두 몇 가지인지 구하시오. (단, 변끼리 서로 맞닿게 이어 붙여야 하고, 돌리거나 뒤집어서 같은 모양이면 한 가지로 생각합니다.)

풀이 보기

이해

네 변의 길이가 같은 평행사변형(마름모) 모양 조각이 3개 있습니다. 이를 변끼리(한 변 전체를 다른 변 전체에) 맞닿게 이어 붙여 하나의 연결된 모양을 만들고, 만들 수 있는 서로 다른 모양이 모두 몇 가지인지 셉니다. 단, 돌리거나 뒤집어서 같아지는 두 모양은 한 가지로 봅니다.

주어진 것

합동인 마름모 조각이 3개 있습니다(마름모는 네 변이 모두 같은 평행사변형입니다).
조각은 변끼리, 즉 한 변 전체를 다른 변 전체에 맞닿게 이어 붙여야 합니다.
돌리거나 뒤집어서 일치하는 모양은 같은 한 가지로 셉니다.

구할 것

마름모 3개로 만들 수 있는 서로 다른 모양의 가짓수.

조건

마름모 2개를 변끼리 이어 붙인 모양에서 시작하여, 세 번째 조각을 서로 다른 모든 변 위치에 붙여 봅니다.
이미 센 모양을 돌리거나 뒤집은 것에 불과한 중복은 빼냅니다.

계획

#2 빠짐없이 나열하기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#16 관점 바꾸기

이것은 '모양이 몇 가지인가'를 묻는 문제이고 경우의 수가 아주 적은 유한한 문제이므로, 두 조각 모양에 세 번째 조각을 붙이는 모든 방법을 나열한 뒤 돌리거나 뒤집어서 같아지는 중복을 지우는 것이 안전한 방법입니다.

실행

#1 그림 그리기 4.G.A.2

마름모 2개를 한 변 전체끼리 이어 붙입니다. 두 조각이 똑같은 마름모이므로, 두 조각을 잇는 방법은 돌리는 것을 빼고 모두 같은 한 가지 시작 모양(길쭉한 마름모 모양 띠)이 됩니다. 즉 2개로 만드는 모양은 정확히 1가지입니다.

2 \text{개의 조각} \Rightarrow 1 \text{가지 모양}

똑같은 마름모 두 개는 돌리는 것을 빼면 한 가지로만 나란히 놓이므로, 키워 갈 시작 모양은 하나뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2

두 조각 모양의 열린 변에 세 번째 마름모를 붙입니다. 열린 변마다 붙여 보고 다른 것을 돌리거나 뒤집은 것에 불과한 경우를 빼면, 정말로 서로 다른 모양이 정확히 3가지 나옵니다: 마름모 3개가 일직선으로 늘어선 모양, 그리고 세 번째 조각이 모서리에서 꺾이는 서로 다른 '꺾인' 배열 2가지입니다.

\text{일직선} + \text{꺾임 1} + \text{꺾임 2} = 3

붙일 수 있는 모든 자리를 나열하고 뒤집기/돌리기로 같아지는 것을 지우면 정말로 다른 윤곽 3가지가 남습니다.

#16 관점 바꾸기 4.G.A.2

세 모양을 서로 돌리고 뒤집어 비교합니다. 일직선 띠는 어느 꺾인 모양으로도 바뀔 수 없고, 두 꺾인 모양은 윤곽이 거울처럼 서로 달라 셋이 모두 구별됩니다. 따라서 가짓수는 3입니다.

\text{서로 다른 모양} = 3

돌리거나 뒤집어도 이 세 윤곽이 서로 합쳐지지 않으므로 어느 하나도 중복이 아닙니다.

답: 3 shapes

검토

조각 3개로는 짧은 일직선 모양이나 꺾인 모양밖에 만들 수 없으므로 3처럼 작은 가짓수는 타당합니다. 이는 돌리기와 뒤집기를 잘못 따로 세었을 때보다 훨씬 적습니다.

종이 마름모 3개를 직접 놓아 보고(도구 10) 세 번째 조각을 열린 변마다 옮겨 가며, 돌려서 같아 보이는 결과끼리 무더기로 모읍니다. 그러면 3무더기가 됩니다.

기준 · 최소 학년 4

4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 마름모 조각을 알아보고, 만든 두 모양이 돌리거나 뒤집어서 같은지 판단하는 데 사용했습니다.

💡 마지막 조각을 붙이는 모든 방법을 나열하고 뒤집기와 돌리기를 빼면 — 정말 다른 모양은 딱 3가지만 남아요!