작은 도형이 모여 큰 도형이 된다.

4.G.A.2 · take · 학년 4

아키타입: Systematically Count Shapes in a Figure · 5단계 진행 중

도형에서 찾을 수 있는 크고 작은 마름모는 모두 몇 개인지 구하시오.

그림 설명: 크기가 같은 작은 정삼각형을 빈틈없이 변끼리 이어 붙여 만든 길쭉한 육각형 모양의 도형입니다. 위아래로 두 줄이 있고 각 줄에 작은 정삼각형이 7개씩 놓여 있으며, 두 줄은 왼쪽 꼭짓점에서 오른쪽 꼭짓점까지 이어지는 가로 중심선으로 나뉩니다. 각 줄에서는 위로 향한 삼각형과 아래로 향한 삼각형이 번갈아 놓여 있어 작은 정삼각형은 모두 14개(위 7개, 아래 7개)입니다. 위로 향한 삼각형과 이웃한 아래로 향한 삼각형이 합쳐져 작은 정삼각형 2개로 이루어진 마름모를 모두 세어 보시오.

풀이 보기

이해

길쭉한 육각형이 크기가 같은 작은 정삼각형 14개로 채워져 있습니다. 위아래로 두 줄에 7개씩 있으며, 왼쪽 꼭짓점에서 오른쪽 꼭짓점까지 이어지는 가로 중심선으로 나뉩니다. 각 줄에서는 위로 향한 삼각형과 아래로 향한 삼각형이 번갈아 놓여 있습니다. 위로 향한 삼각형 하나와 이웃한 아래로 향한 삼각형 하나가 합쳐져 만들어지는 마름모(작은 삼각형 2개)를, 가능한 모든 방향에 대해 빠짐없이 세어야 합니다.

주어진 것

크기가 같은 작은 정삼각형이 14개 있습니다: 윗줄 7개, 아랫줄 7개.
각 줄에서 위로 향한 삼각형과 아래로 향한 삼각형이 번갈아 변을 맞대고 빈틈없이 놓여 있습니다.
가로 중심선이 뾰족한 왼쪽 꼭짓점에서 뾰족한 오른쪽 꼭짓점까지 이어집니다.
여기서 마름모는 변 하나를 공유하는 위로 향한 삼각형과 아래로 향한 삼각형이 합쳐져 네 변의 길이가 같은 마름모가 된 것입니다.

구할 것

도형 속 마름모(각각 작은 삼각형 2개)의 전체 개수.

조건

각 마름모는 변 하나를 공유하는 작은 삼각형 2개(위 1개, 아래 1개)로 이루어집니다.
띠는 마름모 한 칸 높이뿐이라 작은 삼각형 4개 이상으로 된 마름모는 들어갈 수 없고, 2개짜리 마름모만 가능합니다.
2개짜리 마름모는 위·아래 삼각형이 어느 변을 공유하느냐에 따라 세 방향으로 기울 수 있습니다.

계획

#2 빠짐없이 나열하기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#7 작은 문제로 쪼개기

작은 삼각형 14개에 이름을 붙이고(윗줄은 왼쪽부터 t1..t7, 아랫줄은 왼쪽부터 b1..b7) 방향별로 마름모를 나열해 빠뜨리거나 중복하지 않도록 합니다. 각 마름모는 변 하나를 공유하는 위+아래 짝이며, 공유하는 변이 가로면 세로로 선 마름모, 비스듬한 두 변 중 하나면 왼쪽으로 기운 마름모 또는 오른쪽으로 기운 마름모가 됩니다. 방향별로 작은 문제로 나누어 센 뒤 더합니다.

실행

#1 그림 그리기 4.G.A.2

윗줄을 왼쪽부터 t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7, 아랫줄을 왼쪽부터 b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7로 번호를 매깁니다. 윗줄에서 위로 향한 삼각형은 t1, t3, t5, t7이고 아래로 향한 삼각형은 t2, t4, t6입니다. 아랫줄에서 아래로 향한 삼각형은 b1, b3, b5, b7이고 위로 향한 삼각형은 b2, b4, b6입니다. 모든 마름모는 위로 향한 삼각형 하나와 변을 공유하는 이웃한 아래로 향한 삼각형 하나가 합쳐진 것입니다.

\text{윗줄: } t_1,\dots,t_7;\quad \text{아랫줄: } b_1,\dots,b_7

먼저 모든 삼각형에 이름을 붙이면 각 마름모가 어느 두 삼각형으로 이루어졌는지 정확히 나열할 수 있어 최종 개수를 검산할 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2

윗줄의 위로 향한 삼각형이 아랫줄의 아래로 향한 삼각형 바로 위에 있을 때, 두 삼각형은 중심선 위의 밑변을 공유하여 세로로 긴 마름모를 이룹니다. 이런 짝은 t1+b1, t3+b3, t5+b5, t7+b7입니다. 세로 마름모는 모두 4개입니다.

t_1{+}b_1,\ t_3{+}b_3,\ t_5{+}b_5,\ t_7{+}b_7 \;\Rightarrow\; 4

꼭짓점이 위 변에 닿는 위로 향한 삼각형 4개가 각각 아래의 삼각형을 덮어 세로 마름모 하나씩을 만듭니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2

한쪽으로 기운 마름모는 빗금(/) 모양으로 기운 변을 공유하는 위+아래 짝입니다. 윗줄에서는 t1+t2, t3+t4, t5+t6(각각 위로 향한 삼각형과 그 오른쪽 아래로 향한 삼각형)입니다. 아랫줄에서는 b2+b3, b4+b5, b6+b7입니다. 모두 3 + 3 = 6개입니다.

t_1{+}t_2,\ t_3{+}t_4,\ t_5{+}t_6,\ b_2{+}b_3,\ b_4{+}b_5,\ b_6{+}b_7 \;\Rightarrow\; 6

왼쪽에서 오른쪽으로 훑으며 각 위로 향한 삼각형을 한쪽 아래로 향한 삼각형과 짝지으면 기운 마름모가 되고, 두 줄에서 하면 여섯 개입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2

반대쪽으로 기운 마름모는 역빗금() 모양으로 기운 변을 공유하는 위+아래 짝입니다. 윗줄에서는 t2+t3, t4+t5, t6+t7입니다. 아랫줄에서는 b1+b2, b3+b4, b5+b6입니다. 모두 3 + 3 = 6개입니다.

t_2{+}t_3,\ t_4{+}t_5,\ t_6{+}t_7,\ b_1{+}b_2,\ b_3{+}b_4,\ b_5{+}b_6 \;\Rightarrow\; 6

각 위로 향한 삼각형을 반대쪽 아래로 향한 삼각형과 짝지으면 거울처럼 기운 마름모가 되어 다시 여섯 개입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3

각 마름모는 방향이 하나뿐이라 세 목록은 서로 겹치지 않습니다. 세로, 왼쪽 기움, 오른쪽 기움의 개수를 더하면 전체가 됩니다.

4 + 6 + 6 = 16

방향별로 세면 겹침 없이 세 묶음으로 깔끔하게 나뉘므로, 더한 값이 전체 개수입니다.

답: 16

검토

위로 향한 삼각형 7개는 각각 이웃한 아래로 향한 삼각형과 짝지어집니다. 모든 짝을 직접 나열하면 세로 4개 + 왼쪽 기움 6개 + 오른쪽 기움 6개 = 16개이며, 어떤 짝도 두 번 세지 않고 빠뜨린 것도 없습니다.

그림 그리기(도구 1)를 이용합니다. 도형을 여러 장 복사해 마름모를 하나씩 색칠하되 기운 방향별로 묶습니다. 세로 마름모 4개, 빗금(/) 마름모 6개, 역빗금() 마름모 6개를 칠해 4 + 6 + 6 = 16을 확인합니다.

기준 · 최소 학년 4

4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 어떤 위·아래 삼각형 짝이 마름모(네 변이 같고 마주 보는 변이 평행)인지 알아보고 방향별로 나열하는 데 사용했습니다.
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers — 세 방향 마름모의 개수를 더해 전체를 구하는 데 사용했습니다.

💡 마름모를 기운 방향으로 나누면 세로 4개, 한쪽으로 6개, 다른 쪽으로 6개! 빠짐없이 세서 4 + 6 + 6 = 16개!