작은 도형들이 모여 큰 도형이 된다.
4.G.A.2 · take
크기가 같은 성냥개비 개로 오른쪽 그림과 같은 모양을 만들었습니다. 이 모양에서 찾을 수 있는 크고 작은 정삼각형은 모두 몇 개인지 구하시오.
풀이 보기
이해
한 변이 작은 삼각형 3개 길이인 큰 정삼각형을, 한 변이 성냥개비 한 개인 작은 정삼각형들로 채운 격자입니다. 이 모양 속에 숨어 있는 크고 작은 정삼각형이 모두 몇 개인지 세는 문제입니다.
주어진 것
- 한 변의 길이가 작은 삼각형 3개인 큰 정삼각형입니다.
- 위쪽 정삼각형과 뒤집힌(아래쪽) 정삼각형을 포함한 작은 정삼각형들로 채워져 있습니다.
- 만드는 데 성냥개비 18개가 쓰였습니다.
구할 것
- 모든 크기의 정삼각형 전체 개수.
조건
- 삼각형은 성냥개비 격자선을 따라야 합니다.
- 위쪽과 아래쪽 정삼각형을 모두 세고, 한 변이 1, 2, 3인 모든 크기를 세야 합니다.
계획
#7 작은 문제로 쪼개기 · 함께 쓰는 도구: #2 빠짐없이 나열하기#5 패턴 찾기
여러 도형이 겹쳐진 모양은 작은 문제로 쪼개어 세는 것이 가장 쉽습니다. 크기별로 세고, 각 크기 안에서 위쪽과 아래쪽 삼각형을 나누어 셉니다. 각 묶음을 빠짐없이 나열하고 크기에 따른 규칙을 살피면 빠짐없이 정리되어 셀 수 있습니다.
실행
#2 빠짐없이 나열하기 4.G.A.2
가장 작은 위쪽 정삼각형이 각 줄을 채웁니다. 위에서 아래로 읽으면 1 + 2 + 3 = 6개입니다.
4학년 학생은 한 칸짜리 정삼각형을 찾아 줄별로 더할 수 있습니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2
위쪽 작은 삼각형들 사이에 뒤집힌(아래쪽) 삼각형이 들어 있습니다. 둘째 줄에 1개, 셋째 줄에 2개가 있어 1 + 2 = 3개입니다.
아래쪽 삼각형을 따로 떼어 작은 문제로 보면 눈에 잘 띄고 빠뜨리지 않습니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2
한 변이 2인 위쪽 삼각형은 작은 삼각형 4개를 덮습니다. 이 격자에는 이런 삼각형이 3개 들어갑니다(왼쪽 아래, 오른쪽 아래, 위쪽 부분에 하나씩). 모양이 충분히 높지 않아 한 변이 2인 아래쪽 삼각형은 없습니다.
크기마다 따로 작은 문제로 확인하면 눈이 지나치기 쉬운 큰 삼각형도 빠뜨리지 않습니다.
#5 패턴 찾기 4.G.A.2
모양 전체가 곧 한 변이 3인 위쪽 정삼각형 1개입니다. 모든 묶음을 더하면 6(한 변 1 위쪽) + 3(한 변 1 아래쪽) + 3(한 변 2 위쪽) + 1(한 변 3 위쪽) = 13개입니다.
크기별로 정리하면 분명한 규칙이 보이고, 각 묶음의 작은 합을 그냥 더해 답을 얻습니다.
답: 13 equilateral triangles
검토
13개는 가장 작은 삼각형 6개보다 많은데, 뒤집힌 삼각형과 중간 크기(한 변 2)의 삼각형, 그리고 바깥 큰 삼각형까지 넣으면 당연한 결과입니다. 셈은 유한하고 6보다 충분히 크지만 더 큰 격자에서 보이는 수십 개보다는 훨씬 적으므로, 한 변이 3인 모양에 잘 맞습니다.
더 쉬운 문제(도구 9)로 한 변이 1인 격자의 삼각형(1개), 한 변이 2인 격자의 삼각형(5개)을 먼저 세어 늘어나는 폭을 살핀 뒤, 그 규칙을 늘려 한 변이 3인 격자의 합 13개를 예상하고 확인할 수도 있습니다.
기준 · 최소 학년 4
4.G.A.2Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 격자 속 각 크기와 방향의 정삼각형을 알아보고 분류하기.
💡 이미 배운 4학년 도형 감각과 크기별로 깔끔하게 세는 방법만 있으면 풀 수 있어요!