작은 각들이 모여 큰 각을 만든다.

4.MD.C.74.MD.C.5 · take · 학년 4

아키타입: Angle Facts in a Figure · 13단계 진행 중

그림에서 찾을 수 있는 크고 작은 예각은 모두 몇 개인지 구하시오.

풀이 보기

이해

한 직선 위의 한 점에서 여러 개의 반직선이 뻗어 나와, 이웃한 반직선 사이에 ①~⑤로 표시된 5개의 작은 예각이 나란히 만들어진다. 이웃한 작은 각들을 합치면 더 큰 각도 만들어진다. 이 그림에서 찾을 수 있는 예각(작은 것과 큰 것 모두)이 모두 몇 개인지 세어야 한다.

주어진 것

밑변 위쪽으로 나란히 놓인 5개의 작은 각이 ①, ②, ③, ④, ⑤로 표시되어 있다.
5개의 작은 각은 각각 예각(90도보다 작은 각)이다.
5개의 작은 각을 모두 합치면 직선 위쪽의 반바퀴를 채우므로 합이 180도가 된다.
이웃한 작은 각들을 합쳐서 하나의 더 큰 각으로 만들 수 있다.

구할 것

만들어지는 각(하나짜리이거나 여러 개를 합친 것) 중에서 예각이 몇 개인가.

조건

예각(90도보다 작은 각)만 센다.
합쳐서 만드는 각은 빈틈 없이 이웃한 작은 각들로만 이루어져야 한다.

계획

#2 빠짐없이 나열하기 · 함께 쓰는 도구: #7 작은 문제로 쪼개기#1 그림 그리기

이웃한 작은 각들을 이어 붙여 만들 수 있는 각을 빠짐없이 차례대로 나열한다(1개짜리, 그다음 2개짜리, 3개짜리 …). 합친 작은 각의 개수에 따라 묶음으로 정리한 다음, 그중 아직 예각으로 남을 만큼 작은 각만 골라 센다.

실행

#2 빠짐없이 나열하기 4.MD.C.5

①, ②, ③, ④, ⑤ 다섯 개의 각은 각각 하나씩 따로 있는 각이다. 문제에서 이 다섯 개가 모두 예각이라고 했으므로, 1개짜리 각 5개는 모두 예각으로 센다.

5 \text{개의 예각(1개짜리)}

각이란 두 반직선이 벌어진 정도이다. 이웃한 반직선 사이의 벌어진 틈 하나하나가 바로 각 하나이다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.MD.C.7

이웃한 작은 각 두 개를 합치면 (①+②), (②+③), (③+④), (④+⑤)의 4개의 더 큰 각이 만들어진다. 5개의 작은 각이 합쳐서 180도를 채우고 각각이 작은 각이므로, 이웃한 두 각을 합쳐도 여전히 90도보다 작게 벌어진다. 따라서 이 4개도 모두 예각이다.

(①{+}②),(②{+}③),(③{+}④),(④{+}⑤) \rightarrow 4 \text{개의 예각}

각의 크기는 더할 수 있다. 두 각을 나란히 이어 붙이면 두 각의 크기를 더한 만큼 벌어진 하나의 각이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.C.7

이웃한 세 개를 합친 각은 (①+②+③), (②+③+④), (③+④+⑤)로 3개, 네 개를 합친 각은 (①+②+③+④), (②+③+④+⑤)로 2개, 다섯 개를 모두 합친 각은 180도인 직선각 그대로 1개이다. 작은 각을 더 많이 합칠수록 벌어진 정도가 90도를 넘어서므로, 이렇게 길게 합친 각들은 더 이상 예각이 아니어서 세지 않는다.

3 + 2 + 1 = 6 \text{개는 } 90^\circ \text{ 이상인 각}

180도 반바퀴를 조각조각 계속 더해 가다 보면 각이 결국 직각에 이르고 그보다 더 커지므로, 어느 순간 예각이기를 멈춘다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.MD.C.7

예각은 1개짜리 5개와 두 개를 합친 4개이다.

5 + 4 = 9

남겨 둔 묶음들을 그저 모두 더해 주기만 하면 된다.

답: 예각 9개

검토

각은 모두 15개(5 + 4 + 3 + 2 + 1)이다. 길게 합친 6개는 직각을 향해, 또 그것을 넘어서 벌어지므로, 가장 짧은 9개만 예각으로 남는 것이 자연스럽다. 9는 15보다 작으므로 당연히 말이 된다.

추측하고 확인하기(도구 6): 반직선을 거의 같은 간격으로 어림해 그려 보면 작은 각 하나가 약 36도이다. 1개짜리는 약 36도, 두 개를 합친 것은 약 72도로 90도보다 작지만, 세 개를 합친 것은 약 108도로 90도를 넘는다. 이로써 5 + 4 = 9개가 예각임을 확인할 수 있다.

기준 · 최소 학년 4

4.MD.C.5 Recognize angles as geometric shapes formed when two rays share an endpoint — 이웃한 반직선 사이의 벌어진 틈 하나하나를 각으로 알아보는 데 사용.
4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems — 이웃한 작은 각들을 합치고, 합친 각이 예각으로 남는지 판단하는 데 사용.

💡 각을 합친 조각의 개수별로 빠짐없이 나열한 뒤, 아직 직각보다 작은 것만 골라 세면 된다. 이미 알고 있는 4학년 각 감각이면 충분하다!